Номер 714, страница 279 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.8. Треугольник Паскаля. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 714, страница 279.

714 Сравните $C_5^2$ и $C_5^3$; $C_6^1$ и $C_6^5$; $C_9^4$ и $C_9^5$. Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его в символическом виде.

Для решения задачи используется формула числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_5^2$ и $C_5^3$
Вычислим значение $C_5^2$:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Вычислим значение $C_5^3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Поскольку $10 = 10$, то $C_5^2 = C_5^3$.
Ответ: $C_5^2 = C_5^3$.

$C_6^1$ и $C_6^5$
Вычислим значение $C_6^1$:
$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6}{1} = 6$.
Вычислим значение $C_6^5$:
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6}{1} = 6$.
Поскольку $6 = 6$, то $C_6^1 = C_6^5$.
Ответ: $C_6^1 = C_6^5$.

$C_9^4$ и $C_9^5$
Вычислим значение $C_9^4$:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Вычислим значение $C_9^5$:
$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Поскольку $126 = 126$, то $C_9^4 = C_9^5$.
Ответ: $C_9^4 = C_9^5$.

Сформулируйте соответствующее свойство и запишите его в символическом виде
Во всех трех примерах мы видим, что $C_n^k = C_n^m$ в случаях, когда $k+m=n$. В частности, для первой пары $2+3=5$, для второй $1+5=6$, и для третьей $4+5=9$.
Эта закономерность иллюстрирует свойство симметричности для числа сочетаний.
Свойство: Число способов выбрать $k$ элементов из $n$-элементного множества равно числу способов выбрать $n-k$ элементов из того же множества. Это объясняется тем, что, выбирая $k$ элементов, мы одновременно определяем $n-k$ элементов, которые не были выбраны.
Символическая запись: Для любых целых чисел $n$ и $k$ при $0 \le k \le n$ выполняется равенство:
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Доказательство:Используя формулу для числа сочетаний, преобразуем правую часть равенства:$C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = C_n^k$.
Равенство доказано.
Ответ: Свойство симметричности числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.