Номер 720, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 720, страница 280.

720 Для каждой последовательности, заданной рекуррентным способом, запишите формулу n-го члена:

а) $a_1 = 12, a_{n+1} = a_n - 5;$

б) $a_1 = -3, a_{n+1} = a_n + 5;$

в) $b_1 = 24, b_{n+1} = \frac{b_n}{2};$

г) $b_1 = 2, b_{n+1} = b_n \cdot (-3).$

а)

Дана последовательность с первым членом $a_1 = 12$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n - 5$.

Из формулы $a_{n+1} = a_n - 5$ следует, что каждый следующий член последовательности получается из предыдущего вычитанием постоянного числа 5. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 12$.

Разность прогрессии $d = a_{n+1} - a_n = -5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = 12 + (n-1)(-5)$

$a_n = 12 - 5n + 5$

$a_n = 17 - 5n$

Ответ: $a_n = 17 - 5n$.

б)

Дана последовательность с первым членом $a_1 = -3$ и рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + 5$.

Из формулы $a_{n+1} = a_n + 5$ следует, что каждый следующий член последовательности получается из предыдущего прибавлением постоянного числа 5. Это определение арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = -3$.

Разность прогрессии $d = a_{n+1} - a_n = 5$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = -3 + (n-1)5$

$a_n = -3 + 5n - 5$

$a_n = 5n - 8$

Ответ: $a_n = 5n - 8$.

в)

Дана последовательность с первым членом $b_1 = 24$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$.

Формулу $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$ можно записать как $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{2}$. Это означает, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число $\frac{1}{2}$. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 24$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{1}{2}$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$b_n = 24 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

Ответ: $b_n = 24 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

г)

Дана последовательность с первым членом $b_1 = 2$ и рекуррентной формулой $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$.

Из формулы $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$ следует, что каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на постоянное число -3. Это определение геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 2$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = -3$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

Ответ: $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.