Номер 723, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 723, страница 281.

723 a) В арифметической прогрессии $ (a_n) $ $ a_6 = 15 $, $ a_{12} = 18 $. Найдите $ a_{20} $.

б) Существует ли арифметическая прогрессия, в которой $ a_7 = -3 $, $ a_{12} = 12 $ и $ a_{18} = 26 $?

а)

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны шестой и двенадцатый члены: $a_6 = 15$ и $a_{12} = 18$. Необходимо найти двадцатый член прогрессии, $a_{20}$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Также для любых двух членов прогрессии $a_m$ и $a_k$ выполняется соотношение: $a_m = a_k + (m-k)d$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя известные члены $a_6$ и $a_{12}$.

Подставим значения в формулу $a_{12} = a_6 + (12-6)d$:

$18 = 15 + 6d$

Выразим $6d$:

$6d = 18 - 15$

$6d = 3$

Отсюда находим $d$:

$d = \frac{3}{6} = 0.5$

2. Теперь, зная разность $d$, мы можем найти $a_{20}$. Воспользуемся формулой, связывающей $a_{20}$ и $a_{12}$:

$a_{20} = a_{12} + (20-12)d$

Подставим известные значения $a_{12} = 18$ и $d = 0.5$:

$a_{20} = 18 + 8 \cdot 0.5$

$a_{20} = 18 + 4$

$a_{20} = 22$

Для проверки можно вычислить $a_{20}$, используя $a_6$:

$a_{20} = a_6 + (20-6)d = 15 + 14 \cdot 0.5 = 15 + 7 = 22$.

Результаты совпадают.

Ответ: $a_{20} = 22$.

б)

Необходимо выяснить, существует ли арифметическая прогрессия, в которой одновременно выполняются три условия: $a_7 = -3$, $a_{12} = 12$ и $a_{18} = 26$.

Ключевое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что ее разность $d$ является постоянной величиной. Мы можем вычислить эту разность, используя разные пары данных членов. Если полученные значения $d$ будут одинаковыми, то такая прогрессия существует.

1. Вычислим разность прогрессии $d$ по первым двум данным членам: $a_7$ и $a_{12}$.

$a_{12} = a_7 + (12-7)d$

$12 = -3 + 5d$

$5d = 12 - (-3)$

$5d = 15$

$d = \frac{15}{5} = 3$

2. Теперь вычислим разность прогрессии $d$ по второй паре членов: $a_{12}$ и $a_{18}$.

$a_{18} = a_{12} + (18-12)d$

$26 = 12 + 6d$

$6d = 26 - 12$

$6d = 14$

$d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

3. Сравним полученные значения разности.

В первом случае мы получили $d = 3$. Во втором случае $d = \frac{7}{3}$.

Так как $3 \neq \frac{7}{3}$, разность прогрессии не является постоянной величиной. Это означает, что данные три члена не могут принадлежать одной и той же арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не существует.