Номер 727, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 727, страница 281.

727 Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Докажите, что:

а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;

б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, для любого натурального $n$ выполняется $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Из этого определения следует, что для любых натуральных $m$ и $k$ (при $m>k$) справедливо соотношение $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$, что эквивалентно $\frac{b_m}{b_k} = q^{m-k}$ (при условии, что $b_k \neq 0$, что означает $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$). Мы докажем утверждения для нетривиального случая.

а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;

Рассмотрим последовательность $(c_k)$, составленную из членов прогрессии $(b_n)$ с чётными номерами: $b_2, b_4, b_6, \dots, b_{2k}, \dots$. Общий член этой последовательности можно записать как $c_k = b_{2k}$.

Чтобы доказать, что $(c_k)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого её члена к предыдущему является постоянной величиной. Найдем отношение $(k+1)$-го члена к $k$-му члену:

$\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{b_{2(k+1)}}{b_{2k}} = \frac{b_{2k+2}}{b_{2k}}$

Используя свойство членов геометрической прогрессии $\frac{b_m}{b_k} = q^{m-k}$, где в нашем случае $m=2k+2$ и $k=2k$, получаем:

$\frac{b_{2k+2}}{b_{2k}} = q^{(2k+2) - 2k} = q^2$

Это отношение равно $q^2$ и является постоянной величиной, не зависящей от номера $k$. Следовательно, последовательность членов с чётными номерами является геометрической прогрессией. Её первый член — $c_1 = b_2$, а знаменатель — $q^2$.

Ответ: Доказано, что все члены исходной геометрической прогрессии с чётными номерами образуют новую геометрическую прогрессию со знаменателем $q^2$.

б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим последовательность $(d_k)$, составленную из членов прогрессии $(b_n)$ с нечётными номерами: $b_1, b_3, b_5, \dots, b_{2k-1}, \dots$. Общий член этой последовательности можно записать как $d_k = b_{2k-1}$.

Аналогично предыдущему пункту, найдем отношение $(k+1)$-го члена этой последовательности к $k$-му члену:

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = \frac{b_{2(k+1)-1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}}$

Используя то же свойство членов геометрической прогрессии, где $m=2k+1$ и $k=2k-1$, получаем:

$\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} = q^{(2k+1) - (2k-1)} = q^{2k-2k+2} = q^2$

Это отношение равно $q^2$ и является постоянной величиной, не зависящей от $k$. Следовательно, последовательность членов с нечётными номерами является геометрической прогрессией. Её первый член — $d_1 = b_1$, а знаменатель — $q^2$.

Ответ: Доказано, что все члены исходной геометрической прогрессии с нечётными номерами образуют новую геометрическую прогрессию со знаменателем $q^2$.