Номер 726, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 726, страница 281.

726 Вычислите сумму:

a) $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2;$

б) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 97^2 - 98^2 + 99^2 - 100^2.$

Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + ... + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$

Для вычисления суммы сгруппируем слагаемые попарно и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + ... + (4^2 - 3^2) + (2^2 - 1^2) = $

$= (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1) = $

Поскольку разность в каждой первой скобке равна 1, выражение упрощается до суммы вторых скобок:

$= 1 \cdot 99 + 1 \cdot 95 + ... + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 3 = 99 + 95 + ... + 7 + 3$

Мы получили сумму членов арифметической прогрессии. Запишем ее в порядке возрастания: $3 + 7 + ... + 95 + 99$.

Найдем параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 3$.

Последний член $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Чтобы найти сумму, нам нужно знать количество членов $n$. Найдем его по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n - 1)d$:

$99 = 3 + (n - 1) \cdot 4$

$96 = (n - 1) \cdot 4$

$n - 1 = \frac{96}{4}$

$n - 1 = 24$

$n = 25$

Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$S_{25} = \frac{25(3 + 99)}{2} = \frac{25 \cdot 102}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$.

Ответ: $1275$.

б) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 97^2 - 98^2 + 99^2 - 100^2$

Аналогично сгруппируем слагаемые попарно и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + ... + (97^2 - 98^2) + (99^2 - 100^2) =$

$= (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + ... + (97 - 98)(97 + 98) + (99 - 100)(99 + 100) =$

В этом случае разность в каждой первой скобке равна -1:

$= (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot 7 + ... + (-1) \cdot 195 + (-1) \cdot 199 =$

Вынесем -1 за скобки:

$= -(3 + 7 + 11 + ... + 195 + 199)$

В скобках находится сумма членов арифметической прогрессии. Найдем ее параметры:

Первый член $a_1 = 3$.

Последний член $a_n = 199$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Найдем количество членов $n$. Исходное выражение содержит 100 членов, которые разбиты на $100 / 2 = 50$ пар. Следовательно, в нашей новой сумме 50 членов, $n=50$.

Вычислим сумму прогрессии в скобках по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$S_{50} = \frac{50(3 + 199)}{2} = \frac{50 \cdot 202}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$.

Так как перед скобкой стоял знак минус, искомая сумма равна $-5050$.

Ответ: $-5050$.