Номер 724, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 724, страница 281.

724 1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов арифметической прогрессии $(a_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1$, $S_2$, $S_3$ также является арифметической прогрессией.

2) Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 14, сумма следующих её четырёх членов равна 46. Найдите:

a) сумму членов этой прогрессии с девятого по двенадцатый включительно;

б) сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

По определению, $S_1$, $S_2$ и $S_3$ представляют собой суммы последовательных троек членов прогрессии:

$S_1 = a_1 + a_2 + a_3$

$S_2 = a_4 + a_5 + a_6$

$S_3 = a_7 + a_8 + a_9$

Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_1 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d$

$S_2 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 12d$

$S_3 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 21d$

Чтобы доказать, что последовательность $S_1, S_2, S_3$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Найдем разности $S_2 - S_1$ и $S_3 - S_2$:

$S_2 - S_1 = (3a_1 + 12d) - (3a_1 + 3d) = 9d$

$S_3 - S_2 = (3a_1 + 21d) - (3a_1 + 12d) = 9d$

Так как $S_2 - S_1 = S_3 - S_2 = 9d$, то разность между соседними членами последовательности $S_1, S_2, S_3$ постоянна. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $9d$.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия. Обозначим сумму первых четырех членов как $S'_1$, сумму следующих четырех членов (с пятого по восьмой) как $S'_2$, и так далее.

По условию:

$S'_1 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$

$S'_2 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 46$

На основании свойства, доказанного в пункте 1, последовательность сумм $S'_1, S'_2, S'_3, \dots$, состоящая из сумм равного числа (в данном случае, четырех) последовательных членов исходной арифметической прогрессии, также является арифметической прогрессией. Найдем разность $D$ этой новой прогрессии:

$D = S'_2 - S'_1 = 46 - 14 = 32$

а)

Требуется найти сумму членов с девятого по двенадцатый включительно. Эта сумма является третьим членом последовательности сумм, то есть $S'_3$.

Поскольку $S'_1, S'_2, S'_3$ образуют арифметическую прогрессию, находим $S'_3$:

$S'_3 = S'_2 + D = 46 + 32 = 78$

Ответ: 78

б)

Требуется найти сумму первых шестнадцати членов прогрессии, которую обозначим $S_{16}$.

Эту сумму можно представить как сумму первых четырех блоков по четыре члена:

$S_{16} = (a_1 + \dots + a_4) + (a_5 + \dots + a_8) + (a_9 + \dots + a_{12}) + (a_{13} + \dots + a_{16})$

$S_{16} = S'_1 + S'_2 + S'_3 + S'_4$

Нам известны $S'_1=14$, $S'_2=46$ и $S'_3=78$. Найдем $S'_4$ как следующий член арифметической прогрессии $S'_n$:

$S'_4 = S'_3 + D = 78 + 32 = 110$

Теперь вычислим искомую сумму:

$S_{16} = 14 + 46 + 78 + 110 = 248$

Ответ: 248