Номер 725, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Последовательности и прогрессии. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 725, страница 281.

725 В арифметической прогрессии $S_5 = S_7$. Докажите, что $S_{12} = 0$.

Пусть $(a_n)$ - заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ - её первый член, а $d$ - разность.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи, сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов: $S_5 = S_7$. Запишем это равенство, используя формулу:
$\frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7$
$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7$
$(a_1 + 2d) \cdot 5 = (a_1 + 3d) \cdot 7$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$5a_1 + 10d = 7a_1 + 21d$
$7a_1 - 5a_1 + 21d - 10d = 0$
$2a_1 + 11d = 0$

Теперь нам необходимо доказать, что сумма первых двенадцати членов этой прогрессии, $S_{12}$, равна нулю. Запишем формулу для $S_{12}$:
$S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12$

Из предыдущего шага мы знаем, что $2a_1 + 11d = 0$. Подставим это значение в формулу для $S_{12}$:
$S_{12} = \frac{0}{2} \cdot 12 = 0 \cdot 12 = 0$

Таким образом, мы доказали, что сумма первых двенадцати членов прогрессии равна нулю. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{12}=0$.