Страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

722 a) Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. Чему равна разность этой прогрессии?

б) Докажите, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$, является арифметической прогрессией с разностью $k$.

а) Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Согласно определению деления с остатком, любой член этой последовательности $a$ можно представить в виде $a = 3q + 2$, где $q$ — целое неотрицательное число (частное), так как $a$ — натуральное число.

Чтобы получить все такие натуральные числа в порядке возрастания, мы должны перебирать все возможные значения частного $q$ начиная с 0: $q = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Первый член последовательности $a_1$ (наименьший) соответствует $q=0$: $a_1 = 3 \cdot 0 + 2 = 2$.
Второй член $a_2$ соответствует $q=1$: $a_2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.
Третий член $a_3$ соответствует $q=2$: $a_3 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$.
Таким образом, последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, ...

Для доказательства того, что эта последовательность является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым последующим и предыдущим её членом постоянна. Общий вид $n$-го члена последовательности $(a_n)$ можно выразить через его номер $n$. Поскольку для $n=1$ частное $q=0$, для $n=2$ частное $q=1$, и так далее, то для $n$-го члена частное будет равно $n-1$. Следовательно, формула для $n$-го члена: $a_n = 3(n-1) + 2$.

Найдем следующий член последовательности, $a_{n+1}$. Его номер $n+1$, значит, соответствующее частное будет $(n+1)-1 = n$. $a_{n+1} = 3n + 2$.

Теперь вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (3n + 2) - (3(n-1) + 2) = 3n + 2 - (3n - 3 + 2) = 3n + 2 - (3n - 1) = 3n + 2 - 3n + 1 = 3$.

Так как разность $d=3$ является постоянной величиной для любого номера $n$, данная последовательность по определению является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии равна 3.
Ответ: Последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.

б) Пусть дана последовательность натуральных чисел, которые при делении на натуральное число $k$ дают в остатке $r$, где $r$ — целое число и $0 \le r < k$.

Любое число $b$ из этой последовательности можно представить в виде $b = qk + r$, где $q$ — частное, являющееся целым неотрицательным числом ($q \in \{0, 1, 2, \ldots\}$).

Расположим все такие числа в порядке их возрастания, чтобы образовать последовательность $(b_n)$. Члены этой последовательности получаются при последовательном увеличении частного $q$ на 1.

Пусть $n$-й член последовательности $b_n$ соответствует некоторому частному $q_0$. Тогда его можно записать как: $b_n = q_0k + r$.

Следующий за ним, $(n+1)$-й член последовательности $b_{n+1}$, будет соответствовать следующему значению частного, то есть $q_0+1$. Его можно записать как: $b_{n+1} = (q_0+1)k + r$.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, найдем разность $d$ между двумя соседними членами: $d = b_{n+1} - b_n = ((q_0+1)k + r) - (q_0k + r)$.
Раскроем скобки и упростим выражение: $d = q_0k + k + r - q_0k - r = k$.

Разность между любым последующим и предыдущим членом последовательности постоянна и равна $k$. Это доказывает, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$, является арифметической прогрессией. Разность этой прогрессии равна $k$.
Ответ: Утверждение доказано; последовательность является арифметической прогрессией с разностью $k$.

723 a) В арифметической прогрессии $ (a_n) $ $ a_6 = 15 $, $ a_{12} = 18 $. Найдите $ a_{20} $.

б) Существует ли арифметическая прогрессия, в которой $ a_7 = -3 $, $ a_{12} = 12 $ и $ a_{18} = 26 $?

а)

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, в которой известны шестой и двенадцатый члены: $a_6 = 15$ и $a_{12} = 18$. Необходимо найти двадцатый член прогрессии, $a_{20}$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Также для любых двух членов прогрессии $a_m$ и $a_k$ выполняется соотношение: $a_m = a_k + (m-k)d$.

1. Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя известные члены $a_6$ и $a_{12}$.

Подставим значения в формулу $a_{12} = a_6 + (12-6)d$:

$18 = 15 + 6d$

Выразим $6d$:

$6d = 18 - 15$

$6d = 3$

Отсюда находим $d$:

$d = \frac{3}{6} = 0.5$

2. Теперь, зная разность $d$, мы можем найти $a_{20}$. Воспользуемся формулой, связывающей $a_{20}$ и $a_{12}$:

$a_{20} = a_{12} + (20-12)d$

Подставим известные значения $a_{12} = 18$ и $d = 0.5$:

$a_{20} = 18 + 8 \cdot 0.5$

$a_{20} = 18 + 4$

$a_{20} = 22$

Для проверки можно вычислить $a_{20}$, используя $a_6$:

$a_{20} = a_6 + (20-6)d = 15 + 14 \cdot 0.5 = 15 + 7 = 22$.

Результаты совпадают.

Ответ: $a_{20} = 22$.

б)

Необходимо выяснить, существует ли арифметическая прогрессия, в которой одновременно выполняются три условия: $a_7 = -3$, $a_{12} = 12$ и $a_{18} = 26$.

Ключевое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что ее разность $d$ является постоянной величиной. Мы можем вычислить эту разность, используя разные пары данных членов. Если полученные значения $d$ будут одинаковыми, то такая прогрессия существует.

1. Вычислим разность прогрессии $d$ по первым двум данным членам: $a_7$ и $a_{12}$.

$a_{12} = a_7 + (12-7)d$

$12 = -3 + 5d$

$5d = 12 - (-3)$

$5d = 15$

$d = \frac{15}{5} = 3$

2. Теперь вычислим разность прогрессии $d$ по второй паре членов: $a_{12}$ и $a_{18}$.

$a_{18} = a_{12} + (18-12)d$

$26 = 12 + 6d$

$6d = 26 - 12$

$6d = 14$

$d = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

3. Сравним полученные значения разности.

В первом случае мы получили $d = 3$. Во втором случае $d = \frac{7}{3}$.

Так как $3 \neq \frac{7}{3}$, разность прогрессии не является постоянной величиной. Это означает, что данные три члена не могут принадлежать одной и той же арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не существует.

724 1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов арифметической прогрессии $(a_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1$, $S_2$, $S_3$ также является арифметической прогрессией.

2) Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 14, сумма следующих её четырёх членов равна 46. Найдите:

a) сумму членов этой прогрессии с девятого по двенадцатый включительно;

б) сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$.

По определению, $S_1$, $S_2$ и $S_3$ представляют собой суммы последовательных троек членов прогрессии:

$S_1 = a_1 + a_2 + a_3$

$S_2 = a_4 + a_5 + a_6$

$S_3 = a_7 + a_8 + a_9$

Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_1 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d$

$S_2 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 12d$

$S_3 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 21d$

Чтобы доказать, что последовательность $S_1, S_2, S_3$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Найдем разности $S_2 - S_1$ и $S_3 - S_2$:

$S_2 - S_1 = (3a_1 + 12d) - (3a_1 + 3d) = 9d$

$S_3 - S_2 = (3a_1 + 21d) - (3a_1 + 12d) = 9d$

Так как $S_2 - S_1 = S_3 - S_2 = 9d$, то разность между соседними членами последовательности $S_1, S_2, S_3$ постоянна. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $9d$.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия. Обозначим сумму первых четырех членов как $S'_1$, сумму следующих четырех членов (с пятого по восьмой) как $S'_2$, и так далее.

По условию:

$S'_1 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$

$S'_2 = a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 46$

На основании свойства, доказанного в пункте 1, последовательность сумм $S'_1, S'_2, S'_3, \dots$, состоящая из сумм равного числа (в данном случае, четырех) последовательных членов исходной арифметической прогрессии, также является арифметической прогрессией. Найдем разность $D$ этой новой прогрессии:

$D = S'_2 - S'_1 = 46 - 14 = 32$

а)

Требуется найти сумму членов с девятого по двенадцатый включительно. Эта сумма является третьим членом последовательности сумм, то есть $S'_3$.

Поскольку $S'_1, S'_2, S'_3$ образуют арифметическую прогрессию, находим $S'_3$:

$S'_3 = S'_2 + D = 46 + 32 = 78$

Ответ: 78

б)

Требуется найти сумму первых шестнадцати членов прогрессии, которую обозначим $S_{16}$.

Эту сумму можно представить как сумму первых четырех блоков по четыре члена:

$S_{16} = (a_1 + \dots + a_4) + (a_5 + \dots + a_8) + (a_9 + \dots + a_{12}) + (a_{13} + \dots + a_{16})$

$S_{16} = S'_1 + S'_2 + S'_3 + S'_4$

Нам известны $S'_1=14$, $S'_2=46$ и $S'_3=78$. Найдем $S'_4$ как следующий член арифметической прогрессии $S'_n$:

$S'_4 = S'_3 + D = 78 + 32 = 110$

Теперь вычислим искомую сумму:

$S_{16} = 14 + 46 + 78 + 110 = 248$

Ответ: 248

725 В арифметической прогрессии $S_5 = S_7$. Докажите, что $S_{12} = 0$.

Пусть $(a_n)$ - заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ - её первый член, а $d$ - разность.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

По условию задачи, сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов: $S_5 = S_7$. Запишем это равенство, используя формулу:
$\frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + (7-1)d}{2} \cdot 7$
$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7$
$(a_1 + 2d) \cdot 5 = (a_1 + 3d) \cdot 7$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$5a_1 + 10d = 7a_1 + 21d$
$7a_1 - 5a_1 + 21d - 10d = 0$
$2a_1 + 11d = 0$

Теперь нам необходимо доказать, что сумма первых двенадцати членов этой прогрессии, $S_{12}$, равна нулю. Запишем формулу для $S_{12}$:
$S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12$

Из предыдущего шага мы знаем, что $2a_1 + 11d = 0$. Подставим это значение в формулу для $S_{12}$:
$S_{12} = \frac{0}{2} \cdot 12 = 0 \cdot 12 = 0$

Таким образом, мы доказали, что сумма первых двенадцати членов прогрессии равна нулю. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{12}=0$.

726 Вычислите сумму:

a) $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2;$

б) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 97^2 - 98^2 + 99^2 - 100^2.$

Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + ... + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$

Для вычисления суммы сгруппируем слагаемые попарно и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(50^2 - 49^2) + (48^2 - 47^2) + ... + (4^2 - 3^2) + (2^2 - 1^2) = $

$= (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1) = $

Поскольку разность в каждой первой скобке равна 1, выражение упрощается до суммы вторых скобок:

$= 1 \cdot 99 + 1 \cdot 95 + ... + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 3 = 99 + 95 + ... + 7 + 3$

Мы получили сумму членов арифметической прогрессии. Запишем ее в порядке возрастания: $3 + 7 + ... + 95 + 99$.

Найдем параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 3$.

Последний член $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Чтобы найти сумму, нам нужно знать количество членов $n$. Найдем его по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n - 1)d$:

$99 = 3 + (n - 1) \cdot 4$

$96 = (n - 1) \cdot 4$

$n - 1 = \frac{96}{4}$

$n - 1 = 24$

$n = 25$

Теперь вычислим сумму прогрессии по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$S_{25} = \frac{25(3 + 99)}{2} = \frac{25 \cdot 102}{2} = 25 \cdot 51 = 1275$.

Ответ: $1275$.

б) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 97^2 - 98^2 + 99^2 - 100^2$

Аналогично сгруппируем слагаемые попарно и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + ... + (97^2 - 98^2) + (99^2 - 100^2) =$

$= (1 - 2)(1 + 2) + (3 - 4)(3 + 4) + ... + (97 - 98)(97 + 98) + (99 - 100)(99 + 100) =$

В этом случае разность в каждой первой скобке равна -1:

$= (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot 7 + ... + (-1) \cdot 195 + (-1) \cdot 199 =$

Вынесем -1 за скобки:

$= -(3 + 7 + 11 + ... + 195 + 199)$

В скобках находится сумма членов арифметической прогрессии. Найдем ее параметры:

Первый член $a_1 = 3$.

Последний член $a_n = 199$.

Разность прогрессии $d = 7 - 3 = 4$.

Найдем количество членов $n$. Исходное выражение содержит 100 членов, которые разбиты на $100 / 2 = 50$ пар. Следовательно, в нашей новой сумме 50 членов, $n=50$.

Вычислим сумму прогрессии в скобках по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$:

$S_{50} = \frac{50(3 + 199)}{2} = \frac{50 \cdot 202}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$.

Так как перед скобкой стоял знак минус, искомая сумма равна $-5050$.

Ответ: $-5050$.

727 Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Докажите, что:

а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;

б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По определению, для любого натурального $n$ выполняется $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Из этого определения следует, что для любых натуральных $m$ и $k$ (при $m>k$) справедливо соотношение $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$, что эквивалентно $\frac{b_m}{b_k} = q^{m-k}$ (при условии, что $b_k \neq 0$, что означает $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$). Мы докажем утверждения для нетривиального случая.

а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;

Рассмотрим последовательность $(c_k)$, составленную из членов прогрессии $(b_n)$ с чётными номерами: $b_2, b_4, b_6, \dots, b_{2k}, \dots$. Общий член этой последовательности можно записать как $c_k = b_{2k}$.

Чтобы доказать, что $(c_k)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого её члена к предыдущему является постоянной величиной. Найдем отношение $(k+1)$-го члена к $k$-му члену:

$\frac{c_{k+1}}{c_k} = \frac{b_{2(k+1)}}{b_{2k}} = \frac{b_{2k+2}}{b_{2k}}$

Используя свойство членов геометрической прогрессии $\frac{b_m}{b_k} = q^{m-k}$, где в нашем случае $m=2k+2$ и $k=2k$, получаем:

$\frac{b_{2k+2}}{b_{2k}} = q^{(2k+2) - 2k} = q^2$

Это отношение равно $q^2$ и является постоянной величиной, не зависящей от номера $k$. Следовательно, последовательность членов с чётными номерами является геометрической прогрессией. Её первый член — $c_1 = b_2$, а знаменатель — $q^2$.

Ответ: Доказано, что все члены исходной геометрической прогрессии с чётными номерами образуют новую геометрическую прогрессию со знаменателем $q^2$.

б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

Рассмотрим последовательность $(d_k)$, составленную из членов прогрессии $(b_n)$ с нечётными номерами: $b_1, b_3, b_5, \dots, b_{2k-1}, \dots$. Общий член этой последовательности можно записать как $d_k = b_{2k-1}$.

Аналогично предыдущему пункту, найдем отношение $(k+1)$-го члена этой последовательности к $k$-му члену:

$\frac{d_{k+1}}{d_k} = \frac{b_{2(k+1)-1}}{b_{2k-1}} = \frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}}$

Используя то же свойство членов геометрической прогрессии, где $m=2k+1$ и $k=2k-1$, получаем:

$\frac{b_{2k+1}}{b_{2k-1}} = q^{(2k+1) - (2k-1)} = q^{2k-2k+2} = q^2$

Это отношение равно $q^2$ и является постоянной величиной, не зависящей от $k$. Следовательно, последовательность членов с нечётными номерами является геометрической прогрессией. Её первый член — $d_1 = b_1$, а знаменатель — $q^2$.

Ответ: Доказано, что все члены исходной геометрической прогрессии с нечётными номерами образуют новую геометрическую прогрессию со знаменателем $q^2$.

728 a) В геометрической прогрессии $b_3 = 48, b_6 = 6$. Найдите $b_{12}$.

б) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой $b_3 = \frac{5}{27}, b_6 = 5 \text{ и } b_8 = 45?$

а)

Дана геометрическая прогрессия, в которой $b_3 = 48$ и $b_6 = 6$.
Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Также справедливо соотношение между любыми двумя членами прогрессии: $b_m = b_n \cdot q^{m-n}$.

Воспользуемся этим соотношением для известных членов $b_6$ и $b_3$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$
$6 = 48 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти двенадцатый член прогрессии $b_{12}$, используя, например, член $b_6$:
$b_{12} = b_6 \cdot q^{12-6} = b_6 \cdot q^6$
Подставим известные значения:
$b_{12} = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 6 \cdot \frac{1}{64} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$

Ответ: $b_{12} = \frac{3}{32}$

б)

Чтобы определить, существует ли геометрическая прогрессия с заданными членами $b_3 = \frac{5}{27}$, $b_6 = 5$ и $b_8 = 45$, необходимо проверить, можно ли найти для них единый знаменатель $q$.

Сначала найдем знаменатель $q$, используя первые два известных члена, $b_3$ и $b_6$:
$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$
$5 = \frac{5}{27} \cdot q^3$
$q^3 = 5 \cdot \frac{27}{5} = 27$
$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь проверим, будет ли при этом знаменателе $q=3$ член $b_8$ равен 45. Для этого выразим $b_8$ через $b_6$:
$b_8 = b_6 \cdot q^{8-6} = b_6 \cdot q^2$
Подставим значения $b_6=5$ и $q=3$:
$b_8 = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$

Полученное значение $b_8 = 45$ совпадает со значением, данным в условии задачи. Так как для всех трех заданных членов существует общий знаменатель $q=3$, такая геометрическая прогрессия существует.

Ответ: Да, существует.