Страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

14 Мяч, брошенный вертикально вниз, после удара о землю подскакивает на высоту, равную 80% его предыдущей высоты. Мяч был брошен с высоты 2 м. На какую высоту подпрыгнет мяч после 3-го удара о землю?

Эта задача описывает процесс, который можно представить как геометрическую прогрессию, где каждый следующий член (высота отскока) меньше предыдущего на определенный коэффициент.

Начальная высота, с которой брошен мяч, составляет $h_0 = 2$ метра.

После каждого удара о землю мяч подпрыгивает на высоту, равную 80% от предыдущей. Чтобы найти новую высоту, нужно предыдущую высоту умножить на 0.8 (так как $80\% = \frac{80}{100} = 0.8$).

1. Высота после первого удара:
Высота после первого отскока ($h_1$) будет равна 80% от начальной высоты $h_0$.
$h_1 = h_0 \times 0.8 = 2 \text{ м} \times 0.8 = 1.6 \text{ м}$.

2. Высота после второго удара:
Высота после второго отскока ($h_2$) будет равна 80% от высоты $h_1$.
$h_2 = h_1 \times 0.8 = 1.6 \text{ м} \times 0.8 = 1.28 \text{ м}$.

3. Высота после третьего удара:
Высота после третьего отскока ($h_3$) будет равна 80% от высоты $h_2$.
$h_3 = h_2 \times 0.8 = 1.28 \text{ м} \times 0.8 = 1.024 \text{ м}$.

Также можно решить задачу, используя общую формулу для высоты после $n$-го удара:
$h_n = h_0 \times (0.8)^n$
Для третьего удара ($n=3$):
$h_3 = 2 \times (0.8)^3 = 2 \times 0.512 = 1.024 \text{ м}$.

Ответ: 1.024 м.

1 Последовательность $(a_n)$ задана условиями: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Найдите $a_4$.

Последовательность $(a_n)$ задана рекуррентно, то есть каждый её член, начиная со второго, выражается через предыдущий. Нам даны первый член $a_1 = 1$ и формула для вычисления последующих членов $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Чтобы найти четвертый член последовательности $a_4$, необходимо последовательно вычислить $a_2$ и $a_3$.

1. Найдем второй член последовательности $a_2$. Для этого в рекуррентную формулу подставим $n=1$:

$a_{1+1} = 2a_1 + 1$

Зная, что $a_1=1$, получаем:

$a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

2. Теперь, зная $a_2=3$, найдем третий член последовательности $a_3$. Для этого подставим в формулу $n=2$:

$a_{2+1} = 2a_2 + 1$

$a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$

3. Наконец, зная $a_3=7$, найдем искомый четвертый член $a_4$. Подставим в формулу $n=3$:

$a_{3+1} = 2a_3 + 1$

$a_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 14 + 1 = 15$

Ответ: 15

2 Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена: $c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.

Какое из неравенств верно?

1) $c_2 > c_3$

2) $c_3 < c_4$

3) $c_5 > c_6$

4) $c_7 < c_8$

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств является верным, необходимо для каждого из них вычислить значения членов последовательности $(c_n)$, заданной формулой $c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, и выполнить проверку.

1) Проверим истинность неравенства $c_2 > c_3$.
Найдем значение члена $c_2$: $c_2 = \frac{(-1)^{2+1}}{2} = \frac{(-1)^3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение члена $c_3$: $c_3 = \frac{(-1)^{3+1}}{3} = \frac{(-1)^4}{3} = \frac{1}{3}$.
Сравним полученные значения: $-\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Данное неравенство является ложным, так как любое отрицательное число меньше любого положительного.
Ответ: неравенство 1) неверно.

2) Проверим истинность неравенства $c_3 < c_4$.
Значение $c_3 = \frac{1}{3}$ нам уже известно.
Найдем значение члена $c_4$: $c_4 = \frac{(-1)^{4+1}}{4} = \frac{(-1)^5}{4} = -\frac{1}{4}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$. Данное неравенство является ложным, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: неравенство 2) неверно.

3) Проверим истинность неравенства $c_5 > c_6$.
Найдем значение члена $c_5$: $c_5 = \frac{(-1)^{5+1}}{5} = \frac{(-1)^6}{5} = \frac{1}{5}$.
Найдем значение члена $c_6$: $c_6 = \frac{(-1)^{6+1}}{6} = \frac{(-1)^7}{6} = -\frac{1}{6}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{5} > -\frac{1}{6}$. Данное неравенство является истинным, так как любое положительное число больше любого отрицательного.
Ответ: неравенство 3) верно.

4) Проверим истинность неравенства $c_7 < c_8$.
Найдем значение члена $c_7$: $c_7 = \frac{(-1)^{7+1}}{7} = \frac{(-1)^8}{7} = \frac{1}{7}$.
Найдем значение члена $c_8$: $c_8 = \frac{(-1)^{8+1}}{8} = \frac{(-1)^9}{8} = -\frac{1}{8}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{7} < -\frac{1}{8}$. Данное неравенство является ложным.
Ответ: неравенство 4) неверно.

В результате проверки всех вариантов мы установили, что единственным верным является неравенство под номером 3.

3 Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена: $a_n = n^2 - 2n$.

Найдите $a_{k+1}$.

1) $k^2 - 1$

2) $k^2 + 1$

3) $k^2 + 2$

4) $k^2 + 3$

По условию задачи, n-й член последовательности $(a_n)$ задается формулой $a_n = n^2 - 2n$.

Чтобы найти $a_{k+1}$, необходимо в эту формулу подставить $n = k+1$.

Выполняем подстановку:

$a_{k+1} = (k+1)^2 - 2(k+1)$

Раскроем скобки в полученном выражении. Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(k+1)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 1 + 1^2 = k^2 + 2k + 1$

Также раскроем вторые скобки, применив распределительный закон умножения:

$-2(k+1) = -2k - 2$

Теперь подставим раскрытые части обратно в выражение для $a_{k+1}$:

$a_{k+1} = (k^2 + 2k + 1) + (-2k - 2) = k^2 + 2k + 1 - 2k - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$a_{k+1} = k^2 + (2k - 2k) + (1 - 2) = k^2 - 1$

Полученное выражение $k^2 - 1$ соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $k^2 - 1$

4 Дана последовательность $(a_n)$. Сколько её членов заключено между $a_{k-3}$ и $a_{k+5}$?

Дана последовательность $(a_n)$, члены которой расположены в порядке возрастания их номеров (индексов) $n$: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$.

Вопрос "сколько членов заключено между $a_{k-3}$ и $a_{k+5}$" означает, что нужно найти количество членов последовательности, чьи номера (индексы) находятся строго между номерами $k-3$ и $k+5$.

Давайте выпишем члены последовательности, расположенные в порядке их следования, в окрестности заданных членов: $$ \dots, a_{k-4}, a_{k-3}, a_{k-2}, a_{k-1}, a_{k}, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, a_{k+4}, a_{k+5}, a_{k+6}, \dots $$

Члены, расположенные между $a_{k-3}$ и $a_{k+5}$, это те, чьи индексы $m$ удовлетворяют неравенству $k-3 < m < k+5$. Поскольку индексы - это целые числа, то это члены с индексами от $(k-3)+1 = k-2$ до $(k+5)-1 = k+4$.

Перечислим эти члены: $a_{k-2}, a_{k-1}, a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, a_{k+4}$. Прямым подсчетом получаем, что их 7.

Также количество членов можно найти, вычислив разность индексов граничных членов и вычтя единицу (поскольку сами граничные члены не включаются): $$ (k+5) - (k-3) - 1 = k + 5 - k + 3 - 1 = 8 - 1 = 7 $$

Таким образом, между членами $a_{k-3}$ и $a_{k+5}$ находится 7 членов последовательности.

Ответ: 7

5 Для каждой из последовательностей $(x_n)$, $(y_n)$ и $(z_n)$, заданных рекуррентным способом, укажите верное утверждение.

А) $x_1 = 3$, $x_{n+1} = 2x_n$

Б) $z_1 = 3$, $z_{n+1} = 2 - z_n$

В) $y_1 = 3$, $y_{n+1} = y_n + 2$

1) эта последовательность — арифметическая прогрессия

2) эта последовательность — геометрическая прогрессия

3) эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией

А) Для последовательности $(x_n)$, заданной как $x_1 = 3$ и $x_{n+1} = 2x_n$, мы видим, что каждый последующий член получается путем умножения предыдущего на постоянное число 2. Это определение геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии $q=2$. Давайте вычислим первые несколько членов, чтобы убедиться: $x_1=3$, $x_2=2 \cdot 3 = 6$, $x_3=2 \cdot 6 = 12$. Отношение последовательных членов постоянно: $x_2/x_1 = 6/3=2$ и $x_3/x_2 = 12/6=2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией. Это соответствует утверждению 2.
Ответ: 2

Б) Для последовательности $(z_n)$, заданной как $z_1 = 3$ и $z_{n+1} = 2 - z_n$, вычислим первые несколько членов:
$z_1 = 3$
$z_2 = 2 - z_1 = 2 - 3 = -1$
$z_3 = 2 - z_2 = 2 - (-1) = 3$
$z_4 = 2 - z_3 = 2 - 3 = -1$
Последовательность представляет собой чередующиеся числа: 3, -1, 3, -1, ...
Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность между последовательными членами:
$d_1 = z_2 - z_1 = -1 - 3 = -4$
$d_2 = z_3 - z_2 = 3 - (-1) = 4$
Так как $d_1 \neq d_2$, это не арифметическая прогрессия.
Проверим, является ли она геометрической прогрессией, вычислив отношение последовательных членов:
$q_1 = z_2 / z_1 = -1 / 3$
$q_2 = z_3 / z_2 = 3 / (-1) = -3$
Так как $q_1 \neq q_2$, это не геометрическая прогрессия.
Таким образом, эта последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Это соответствует утверждению 3.
Ответ: 3

В) Для последовательности $(y_n)$, заданной как $y_1 = 3$ и $y_{n+1} = y_n + 2$, мы видим, что каждый последующий член получается путем прибавления к предыдущему постоянного числа 2. Это определение арифметической прогрессии. Разность этой прогрессии $d=2$. Давайте вычислим первые несколько членов: $y_1=3$, $y_2=3+2=5$, $y_3=5+2=7$. Разность последовательных членов постоянна: $y_2 - y_1 = 5-3=2$ и $y_3 - y_2 = 7-5=2$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией. Это соответствует утверждению 1.
Ответ: 1

6 Какая из следующих последовательностей не является арифметической прогрессией?

1) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 больше предыдущего

2) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 меньше предыдущего

3) последовательность чисел, кратных 5

4) последовательность натуральных степеней числа 5

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$.

Формально, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется условие: $a_{n+1} - a_n = d$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 больше предыдущего

Пусть $a_n$ — предыдущий член, а $a_{n+1}$ — следующий. По условию, $a_{n+1} = a_n + 5$. Отсюда разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна: $a_{n+1} - a_n = 5$. Это в точности соответствует определению арифметической прогрессии с разностью $d=5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

2) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 меньше предыдущего

Аналогично первому пункту, запишем условие в виде формулы: $a_{n+1} = a_n - 5$. Разность между последующим и предыдущим членами также постоянна: $a_{n+1} - a_n = -5$. Это является определением арифметической прогрессии с разностью $d=-5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

3) последовательность чисел, кратных 5

Рассмотрим последовательность таких чисел, расположенных в порядке возрастания: 5, 10, 15, 20, 25, ... .
Найдем разность между соседними членами:
$10 - 5 = 5$
$15 - 10 = 5$
$20 - 15 = 5$
Разность постоянна и равна 5. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

4) последовательность натуральных степеней числа 5

Натуральные степени числа — это степени с показателями 1, 2, 3, и так далее. Запишем первые несколько членов этой последовательности:
$a_1 = 5^1 = 5$
$a_2 = 5^2 = 25$
$a_3 = 5^3 = 125$
$a_4 = 5^4 = 625$
...
Найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 25 - 5 = 20$
$a_3 - a_2 = 125 - 25 = 100$
Разность между членами не является постоянной величиной ($20 \neq 100$). Значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией. (На самом деле, это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$).
Ответ: не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая не удовлетворяет определению арифметической прогрессии, указана в пункте 4.