Номер 1, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 1, страница 287.

1 Последовательность $(a_n)$ задана условиями: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Найдите $a_4$.

Последовательность $(a_n)$ задана рекуррентно, то есть каждый её член, начиная со второго, выражается через предыдущий. Нам даны первый член $a_1 = 1$ и формула для вычисления последующих членов $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Чтобы найти четвертый член последовательности $a_4$, необходимо последовательно вычислить $a_2$ и $a_3$.

1. Найдем второй член последовательности $a_2$. Для этого в рекуррентную формулу подставим $n=1$:

$a_{1+1} = 2a_1 + 1$

Зная, что $a_1=1$, получаем:

$a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

2. Теперь, зная $a_2=3$, найдем третий член последовательности $a_3$. Для этого подставим в формулу $n=2$:

$a_{2+1} = 2a_2 + 1$

$a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$

3. Наконец, зная $a_3=7$, найдем искомый четвертый член $a_4$. Подставим в формулу $n=3$:

$a_{3+1} = 2a_3 + 1$

$a_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 14 + 1 = 15$

Ответ: 15