Номер 11, страница 286 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 11, страница 286.

11 Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии $6; 2; \frac{2}{3}; ...$

Для нахождения суммы первых десяти членов данной геометрической прогрессии необходимо сначала определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.

Из последовательности $6; 2; \frac{2}{3}; \ldots$ мы видим, что первый член $b_1 = 6$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

В нашем случае, нам нужно найти сумму первых десяти членов, поэтому $n=10$. Подставим известные значения ($b_1 = 6$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 10$) в формулу:

$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{1 - \frac{1}{3}}$

Теперь выполним вычисления. Сначала упростим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим это значение в выражение для суммы:

$S_{10} = \frac{6 \cdot (1 - (\frac{1}{3})^{10})}{\frac{2}{3}}$

Упростим полученное выражение:

$S_{10} = 6 \cdot (1 - \frac{1}{3^{10}}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}} = 9 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}}$

Так как $9 = 3^2$, мы можем сократить дробь:

$S_{10} = 3^2 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3^{10}} = \frac{3^{10} - 1}{3^{10-2}} = \frac{3^{10} - 1}{3^8}$

Осталось вычислить степени тройки:

$3^{10} = 59049$

$3^8 = 6561$

Подставим эти значения в нашу формулу:

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{6561} = \frac{59048}{6561}$

Ответ: $\frac{59048}{6561}$