Номер 2, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 2, страница 287.

2 Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена: $c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$.

Какое из неравенств верно?

1) $c_2 > c_3$

2) $c_3 < c_4$

3) $c_5 > c_6$

4) $c_7 < c_8$

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств является верным, необходимо для каждого из них вычислить значения членов последовательности $(c_n)$, заданной формулой $c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$, и выполнить проверку.

1) Проверим истинность неравенства $c_2 > c_3$.
Найдем значение члена $c_2$: $c_2 = \frac{(-1)^{2+1}}{2} = \frac{(-1)^3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Найдем значение члена $c_3$: $c_3 = \frac{(-1)^{3+1}}{3} = \frac{(-1)^4}{3} = \frac{1}{3}$.
Сравним полученные значения: $-\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Данное неравенство является ложным, так как любое отрицательное число меньше любого положительного.
Ответ: неравенство 1) неверно.

2) Проверим истинность неравенства $c_3 < c_4$.
Значение $c_3 = \frac{1}{3}$ нам уже известно.
Найдем значение члена $c_4$: $c_4 = \frac{(-1)^{4+1}}{4} = \frac{(-1)^5}{4} = -\frac{1}{4}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$. Данное неравенство является ложным, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: неравенство 2) неверно.

3) Проверим истинность неравенства $c_5 > c_6$.
Найдем значение члена $c_5$: $c_5 = \frac{(-1)^{5+1}}{5} = \frac{(-1)^6}{5} = \frac{1}{5}$.
Найдем значение члена $c_6$: $c_6 = \frac{(-1)^{6+1}}{6} = \frac{(-1)^7}{6} = -\frac{1}{6}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{5} > -\frac{1}{6}$. Данное неравенство является истинным, так как любое положительное число больше любого отрицательного.
Ответ: неравенство 3) верно.

4) Проверим истинность неравенства $c_7 < c_8$.
Найдем значение члена $c_7$: $c_7 = \frac{(-1)^{7+1}}{7} = \frac{(-1)^8}{7} = \frac{1}{7}$.
Найдем значение члена $c_8$: $c_8 = \frac{(-1)^{8+1}}{8} = \frac{(-1)^9}{8} = -\frac{1}{8}$.
Сравним полученные значения: $\frac{1}{7} < -\frac{1}{8}$. Данное неравенство является ложным.
Ответ: неравенство 4) неверно.

В результате проверки всех вариантов мы установили, что единственным верным является неравенство под номером 3.