Номер 6, страница 287 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 6, страница 287.

6 Какая из следующих последовательностей не является арифметической прогрессией?

1) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 больше предыдущего

2) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 меньше предыдущего

3) последовательность чисел, кратных 5

4) последовательность натуральных степеней числа 5

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$.

Формально, последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией, если для любого натурального $n$ выполняется условие: $a_{n+1} - a_n = d$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 больше предыдущего

Пусть $a_n$ — предыдущий член, а $a_{n+1}$ — следующий. По условию, $a_{n+1} = a_n + 5$. Отсюда разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна: $a_{n+1} - a_n = 5$. Это в точности соответствует определению арифметической прогрессии с разностью $d=5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

2) последовательность, в которой каждый следующий член на 5 меньше предыдущего

Аналогично первому пункту, запишем условие в виде формулы: $a_{n+1} = a_n - 5$. Разность между последующим и предыдущим членами также постоянна: $a_{n+1} - a_n = -5$. Это является определением арифметической прогрессии с разностью $d=-5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

3) последовательность чисел, кратных 5

Рассмотрим последовательность таких чисел, расположенных в порядке возрастания: 5, 10, 15, 20, 25, ... .
Найдем разность между соседними членами:
$10 - 5 = 5$
$15 - 10 = 5$
$20 - 15 = 5$
Разность постоянна и равна 5. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1=5$ и разностью $d=5$.
Ответ: является арифметической прогрессией.

4) последовательность натуральных степеней числа 5

Натуральные степени числа — это степени с показателями 1, 2, 3, и так далее. Запишем первые несколько членов этой последовательности:
$a_1 = 5^1 = 5$
$a_2 = 5^2 = 25$
$a_3 = 5^3 = 125$
$a_4 = 5^4 = 625$
...
Найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 25 - 5 = 20$
$a_3 - a_2 = 125 - 25 = 100$
Разность между членами не является постоянной величиной ($20 \neq 100$). Значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией. (На самом деле, это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$).
Ответ: не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая не удовлетворяет определению арифметической прогрессии, указана в пункте 4.