Номер 11, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 11, страница 288.

11 Найдите сумму $1 + 2 + 3 + \dots + 200.$

Для нахождения суммы чисел от 1 до 200, то есть $1 + 2 + 3 + \dots + 200$, мы имеем дело с суммой членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии. В данном случае это последовательность натуральных чисел от 1 до 200.

Характеристики этой прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 200$.

Количество членов прогрессии $n = 200$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии существует формула:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Этот метод также известен как метод Гаусса. Чтобы его понять, давайте запишем нашу сумму $S$ в прямом и обратном порядке:

$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 199 + 200$

$S = 200 + 199 + 198 + \dots + 2 + 1$

Теперь сложим эти два равенства почленно, то есть будем складывать числа, стоящие друг под другом:

$2S = (1+200) + (2+199) + (3+198) + \dots + (199+2) + (200+1)$

Каждая сумма в скобках равна 201. Всего таких сумм 200 (поскольку мы складывали 200 чисел).

$2S = \underbrace{201 + 201 + 201 + \dots + 201}_{200 \text{ раз}}$

Это можно записать как произведение:

$2S = 201 \cdot 200$

Теперь, чтобы найти исходную сумму $S$, разделим результат на 2:

$S = \frac{201 \cdot 200}{2}$

Выполним вычисления:

$S = 201 \cdot \frac{200}{2}$

$S = 201 \cdot 100$

$S = 20100$

Ответ: 20100