Номер 15, страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 4. Арифмитическая и геометрическая прогрессии - номер 15, страница 288.

15 Найдите сумму $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$.

Данная сумма $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = 2$, так как каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего ($2/1 = 2$, $2^2/2 = 2$, и так далее).
Чтобы найти количество членов $n$, представим ряд в виде степеней двойки, учитывая, что $1 = 2^0$:
$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$
Показатели степени меняются от $0$ до $k$, следовательно, общее количество членов в прогрессии равно $n = k - 0 + 1 = k+1$.

Для нахождения суммы воспользуемся стандартной формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставим в формулу найденные значения: $b_1 = 1$, $q = 2$ и $n = k+1$:
$S_{k+1} = \frac{1 \cdot (2^{k+1} - 1)}{2 - 1}$
$S_{k+1} = \frac{2^{k+1} - 1}{1}$
$S_{k+1} = 2^{k+1} - 1$

Таким образом, искомая сумма равна $2^{k+1} - 1$.

Ответ: $2^{k+1} - 1$