Страница 288 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

7 Какая из следующих последовательностей не является геометрической прогрессией?

1) последовательность, в которой каждый следующий член в $3$ раза больше предыдущего

2) последовательность, в которой каждый следующий член в $3$ раза меньше предыдущего

3) последовательность чисел, кратных $3$

4) последовательность натуральных степеней числа $3$

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Иными словами, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это означает, что отношение любого члена к предыдущему должно быть постоянным: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Проанализируем каждую из предложенных последовательностей на соответствие этому определению.

1) последовательность, в которой каждый следующий член в 3 раза больше предыдущего

Это условие можно записать в виде формулы $b_{n+1} = 3 \cdot b_n$. Такое соотношение полностью соответствует определению геометрической прогрессии со знаменателем $q = 3$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

2) последовательность, в которой каждый следующий член в 3 раза меньше предыдущего

Условие "в 3 раза меньше" означает деление на 3, что можно записать как $b_{n+1} = \frac{b_n}{3}$ или $b_{n+1} = b_n \cdot \frac{1}{3}$. Это также полностью соответствует определению геометрической прогрессии, знаменатель которой равен $q = \frac{1}{3}$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

3) последовательность чисел, кратных 3

Последовательность чисел, кратных 3, представляет собой ряд чисел, делящихся на 3 без остатка. Запишем несколько первых членов этой последовательности в порядке их возрастания: $3, 6, 9, 12, 15, \dots$.

Проверим, постоянно ли отношение между соседними членами:

Отношение второго члена к первому: $\frac{6}{3} = 2$.

Отношение третьего члена ко второму: $\frac{9}{6} = 1.5$.

Так как полученные отношения не равны ($2 \neq 1.5$), знаменатель не является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией. (Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=3$).

4) последовательность натуральных степеней числа 3

Эта последовательность состоит из членов вида $3^n$, где $n$ — натуральное число ($1, 2, 3, \dots$). Запишем её: $3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \dots$ или $3, 9, 27, 81, \dots$.

Проверим отношение между соседними членами:

$\frac{9}{3} = 3$; $\frac{27}{9} = 3$.

В общем виде, для любого члена $b_n = 3^n$ и следующего за ним $b_{n+1} = 3^{n+1}$, их отношение постоянно: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3$. Знаменатель $q=3$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность из предложенных, которая не является геометрической, — это последовательность чисел, кратных 3.

Ответ: 3

8 В первом ряду амфитеатра киноконцертного зала 18 мест, а в каждом следующем ряду на 6 мест больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером $n$?

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число.

Обозначим количество мест в ряду с номером n как $a_n$.

• Количество мест в первом ряду — это первый член арифметической прогрессии: $a_1 = 18$.
• Число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду — это разность арифметической прогрессии: $d = 6$.

Для нахождения количества мест в ряду с номером n воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Теперь подставим известные значения $a_1 = 18$ и $d = 6$ в эту формулу:

$a_n = 18 + (n-1) \cdot 6$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_n = 18 + 6n - 6$

$a_n = 6n + 12$

Таким образом, количество мест в ряду с номером n можно найти по формуле $6n + 12$.

Ответ: $6n + 12$

9 Фигуры составляют из одинаковых равносторонних треугольников, как показано на рисунке. Сколько треугольников потребуется для фигуры под номером 20?

Для решения задачи необходимо определить закономерность, по которой строятся фигуры. В условии сказано, что фигуры составляют из одинаковых равносторонних треугольников, но сам рисунок не приложен. В таких задачах обычно предполагается, что фигура с номером $n$ представляет собой большой равносторонний треугольник, сторона которого в $n$ раз длиннее стороны маленького треугольника.

Проанализируем количество треугольников для первых нескольких фигур, построенных по этому принципу:

• Фигура 1: состоит из 1-го треугольника. Количество треугольников: $1 = 1^2$.
• Фигура 2: представляет собой треугольник со стороной 2 и состоит из 4-х маленьких треугольников. Количество треугольников: $4 = 2^2$.
• Фигура 3: представляет собой треугольник со стороной 3 и состоит из 9-ти маленьких треугольников. Количество треугольников: $9 = 3^2$.

Из этого можно сделать вывод, что количество треугольников в фигуре с номером $n$ вычисляется по формуле:
$T_n = n^2$
где $T_n$ — количество треугольников в фигуре под номером $n$.

Нам нужно найти, сколько треугольников потребуется для фигуры под номером 20. Для этого подставим $n = 20$ в выведенную формулу:
$T_{20} = 20^2 = 20 \times 20 = 400$

Следовательно, для построения фигуры под номером 20 потребуется 400 одинаковых равносторонних треугольников.
Ответ: 400

10 Каким уравнением задаётся прямая, которой принадлежат члены арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной условиями: $a_1 = 10$, $d = -2?

1) $y = -2x + 10$

2) $y = 10x - 2$

3) $y = 12x - 2$

4) $y = -2x + 12$

Для решения задачи необходимо установить связь между арифметической прогрессией и линейной функцией. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

Эта зависимость является линейной. Если мы представим члены прогрессии как точки на координатной плоскости с координатами $(n, a_n)$, то все они будут лежать на одной прямой. Чтобы найти уравнение этой прямой, мы можем заменить $n$ на $x$ и $a_n$ на $y$.

По условию задачи дано: $a_1 = 10$ и $d = -2$.

Подставим эти значения в формулу n-го члена: $a_n = 10 + (n-1) \cdot (-2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки: $a_n = 10 - 2n + 2$ $a_n = -2n + 12$

Выполним замену $n$ на $x$ и $a_n$ на $y$, чтобы получить искомое уравнение прямой: $y = -2x + 12$

Это уравнение соответствует варианту ответа 4).

Проверка:

Найдем два первых члена прогрессии. Первый член (при $n=1$): $a_1 = 10$. Это соответствует точке с координатами $(1, 10)$. Второй член (при $n=2$): $a_2 = a_1 + d = 10 - 2 = 8$. Это соответствует точке с координатами $(2, 8)$.

Теперь проверим, принадлежат ли эти точки прямой $y = -2x + 12$. Для точки $(1, 10)$: $10 = -2 \cdot 1 + 12 \Rightarrow 10 = -2 + 12 \Rightarrow 10 = 10$. Равенство верное. Для точки $(2, 8)$: $8 = -2 \cdot 2 + 12 \Rightarrow 8 = -4 + 12 \Rightarrow 8 = 8$. Равенство верное. Уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = -2x + 12$

11 Найдите сумму $1 + 2 + 3 + \dots + 200.$

Для нахождения суммы чисел от 1 до 200, то есть $1 + 2 + 3 + \dots + 200$, мы имеем дело с суммой членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии. В данном случае это последовательность натуральных чисел от 1 до 200.

Характеристики этой прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 200$.

Количество членов прогрессии $n = 200$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии существует формула:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Этот метод также известен как метод Гаусса. Чтобы его понять, давайте запишем нашу сумму $S$ в прямом и обратном порядке:

$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 199 + 200$

$S = 200 + 199 + 198 + \dots + 2 + 1$

Теперь сложим эти два равенства почленно, то есть будем складывать числа, стоящие друг под другом:

$2S = (1+200) + (2+199) + (3+198) + \dots + (199+2) + (200+1)$

Каждая сумма в скобках равна 201. Всего таких сумм 200 (поскольку мы складывали 200 чисел).

$2S = \underbrace{201 + 201 + 201 + \dots + 201}_{200 \text{ раз}}$

Это можно записать как произведение:

$2S = 201 \cdot 200$

Теперь, чтобы найти исходную сумму $S$, разделим результат на 2:

$S = \frac{201 \cdot 200}{2}$

Выполним вычисления:

$S = 201 \cdot \frac{200}{2}$

$S = 201 \cdot 100$

$S = 20100$

Ответ: 20100

12 Геометрическая прогрессия начинается так: $ \sqrt{7} $; $ -7 $; ... . Найдите ещё

один её член.

В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = \sqrt{7}$ и второй член $b_2 = -7$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{\sqrt{7}}$
Чтобы упростить, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$q = \frac{-7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{-7\sqrt{7}}{7} = -\sqrt{7}$

Теперь, зная знаменатель, можем найти следующий, третий член прогрессии ($b_3$), умножив на него второй член:
$b_3 = b_2 \cdot q = (-7) \cdot (-\sqrt{7}) = 7\sqrt{7}$

Ответ: $7\sqrt{7}$

13 В геометрической прогрессии $b_1 = 10^{-5}$, $q = 10$. Укажите номера членов прогрессии, для которых выполняется неравенство $0,01 < b_n < 10$.

1) $n = 5; 6$

2) $n = 4; 5; 6; 7$

3) $n = 4; 5; 6$

4) $n = 5; 6; 7$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию, первый член прогрессии $b_1 = 10^{-5}$ и знаменатель $q = 10$. Подставим эти значения в формулу:
$b_n = 10^{-5} \cdot 10^{n-1}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), поэтому:
$b_n = 10^{-5 + (n-1)} = 10^{n-6}$.

Теперь подставим полученное выражение для $b_n$ в заданное неравенство $0,01 < b_n < 10$:
$0,01 < 10^{n-6} < 10$.

Чтобы решить это показательное неравенство, представим все его части в виде степеней с основанием 10:
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$;
$10 = 10^1$.

Таким образом, неравенство принимает вид:
$10^{-2} < 10^{n-6} < 10^1$.

Поскольку основание степени (10) больше 1, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки неравенства:
$-2 < n-6 < 1$.

Для того чтобы найти $n$, прибавим 6 ко всем частям этого двойного неравенства:
$-2 + 6 < n - 6 + 6 < 1 + 6$
$4 < n < 7$.

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом. Единственные натуральные числа, удовлетворяющие условию $4 < n < 7$, это 5 и 6.

Таким образом, искомые номера членов прогрессии — это $n=5$ и $n=6$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1

14 Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана условиями: $b_1 = 3$, $b_{n+1} = 2b_n$.

Какое из следующих равенств является формулой n-го члена этой последовательности?

1) $b_n = 3 \cdot 2n$

2) $b_n = 3 \cdot 2^n$

3) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

4) $b_n = 3 \cdot 2(n-1)$

В задаче речь идет о геометрической прогрессии $(b_n)$, которая задана следующими условиями:
- Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.
- Рекуррентная формула для последующих членов: $b_{n+1} = 2b_n$.

Рекуррентная формула $b_{n+1} = 2b_n$ показывает, что каждый следующий член прогрессии в 2 раза больше предыдущего. Это по определению означает, что знаменатель геометрической прогрессии $q$ равен 2.

Общая формула для нахождения $n$-го члена любой геометрической прогрессии выглядит так:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Теперь подставим в эту общую формулу известные нам значения для данной прогрессии: $b_1 = 3$ и $q = 2$.
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Полученная нами формула $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Для дополнительной проверки можно подставить $n=1$ и $n=2$ в каждый из предложенных вариантов и сравнить с тем, что должно получиться по условию.
Мы знаем, что $b_1 = 3$.
Найдем $b_2$: $b_2 = 2 \cdot b_1 = 2 \cdot 3 = 6$.

1) $b_n = 3 \cdot 2n$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Это не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

2) $b_n = 3 \cdot 2^n$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$. Это также не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

3) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Это соответствует условию.
При $n=2$: $b_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$. Это также соответствует вычисленному значению. Вариант верный.

4) $b_n = 3 \cdot 2(n-1)$
При $n=1$: $b_1 = 3 \cdot 2(1-1) = 3 \cdot 0 = 0$. Это не соответствует условию $b_1 = 3$. Вариант неверный.

Таким образом, единственная верная формула для $n$-го члена этой последовательности представлена в варианте 3.
Ответ: 3

15 Найдите сумму $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$.

Данная сумма $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = 2$, так как каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего ($2/1 = 2$, $2^2/2 = 2$, и так далее).
Чтобы найти количество членов $n$, представим ряд в виде степеней двойки, учитывая, что $1 = 2^0$:
$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^k$
Показатели степени меняются от $0$ до $k$, следовательно, общее количество членов в прогрессии равно $n = k - 0 + 1 = k+1$.

Для нахождения суммы воспользуемся стандартной формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставим в формулу найденные значения: $b_1 = 1$, $q = 2$ и $n = k+1$:
$S_{k+1} = \frac{1 \cdot (2^{k+1} - 1)}{2 - 1}$
$S_{k+1} = \frac{2^{k+1} - 1}{1}$
$S_{k+1} = 2^{k+1} - 1$

Таким образом, искомая сумма равна $2^{k+1} - 1$.

Ответ: $2^{k+1} - 1$

16 На момент открытия городской библиотеки её фонд составлял 1000 томов. В течение нескольких лет он ежегодно увеличивался на 10%. Через сколько лет число книг в библиотеке превысило 1300 экземпляров?

Эта задача на расчет сложных процентов. Начальное количество книг в фонде библиотеки составляет $1000$ томов. Ежегодно фонд увеличивается на $10\%$. Это означает, что каждый год количество книг умножается на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$.

Пусть $t$ — это количество лет. Тогда количество книг в библиотеке через $t$ лет ($N_t$) можно вычислить по формуле:

$N_t = 1000 \cdot (1.1)^t$

Нам нужно найти наименьшее целое число $t$, при котором количество книг превысит $1300$. Для этого составим и решим неравенство:

$1000 \cdot (1.1)^t > 1300$

Разделим обе части неравенства на $1000$:

$(1.1)^t > 1.3$

Теперь будем последовательно рассчитывать количество книг в фонде для каждого года, пока оно не превысит $1300$.

- Через 1 год: $N_1 = 1000 \cdot 1.1 = 1100$ томов. Это меньше, чем $1300$.

- Через 2 года: $N_2 = 1100 \cdot 1.1 = 1210$ томов. Это также меньше, чем $1300$.

- Через 3 года: $N_3 = 1210 \cdot 1.1 = 1331$ томов. Это значение больше, чем $1300$.

Таким образом, уже через 3 года число книг в библиотеке превысит $1300$ экземпляров.

Ответ: 3.