Страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

740 В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. В отделе учёта проводили статистическое исследование и с этой целью записывали размеры каждой пятой из проданных пар. Эти числа составили следующий ряд данных:

23, 24, 16, 21, 18, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22, 16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18, 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 15, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.

б) Определите моду ряда (самый распространённый размер).

в) Постройте диаграмму частот.

г) Найдите медиану этой выборки.

а) Постройте таблицу частот.

Для построения таблицы частот необходимо сначала определить все уникальные размеры обуви в выборке, а затем подсчитать, сколько раз каждый размер встречается (его частоту).

Проанализировав предоставленный ряд данных, мы находим следующие уникальные размеры: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Далее подсчитываем частоту для каждого размера:

• Размер 15 встречается 12 раз.
• Размер 16 встречается 9 раз.
• Размер 17 встречается 11 раз.
• Размер 18 встречается 14 раз.
• Размер 19 встречается 18 раз.
• Размер 20 встречается 14 раз.
• Размер 21 встречается 14 раз.
• Размер 22 встречается 19 раз.
• Размер 23 встречается 17 раз.
• Размер 24 встречается 12 раз.

Общее количество наблюдений в выборке: $12 + 9 + 11 + 14 + 18 + 14 + 14 + 19 + 17 + 12 = 150$. Это соответствует условию задачи ($750 \div 5 = 150$).

На основе этих данных составим таблицу частот:

Ответ: Таблица частот построена выше.

б) Определите моду ряда (самый распространённый размер).

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Для нахождения моды обратимся к таблице частот.

В таблице видно, что наибольшая частота равна 19. Эта частота соответствует размеру обуви 22.

Ответ: Мода ряда равна 22.

в) Постройте диаграмму частот.

Диаграмма частот (столбчатая диаграмма) графически отображает распределение данных. По горизонтальной оси откладываются размеры обуви, а высота столбцов соответствует частоте каждого размера.

Ответ: Диаграмма частот построена выше.

г) Найдите медиану этой выборки.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию набора данных.

Общее количество элементов в выборке $N = 150$. Поскольку это чётное число, медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов. Их порядковые номера: $N/2 = 150/2 = 75$ и $N/2 + 1 = 76$.

Чтобы найти значения 75-го и 76-го элементов, используем накопленные частоты (сумма частот предыдущих и текущей варианты):

• Размер 15: накопленная частота 12. (позиции 1–12)
• Размер 16: накопленная частота $12 + 9 = 21$. (позиции 13–21)
• Размер 17: накопленная частота $21 + 11 = 32$. (позиции 22–32)
• Размер 18: накопленная частота $32 + 14 = 46$. (позиции 33–46)
• Размер 19: накопленная частота $46 + 18 = 64$. (позиции 47–64)
• Размер 20: накопленная частота $64 + 14 = 78$. (позиции 65–78)

Как видно из расчётов, 75-й и 76-й элементы попадают в группу, где размер обуви равен 20.

Следовательно, значение 75-го элемента равно 20, и значение 76-го элемента тоже равно 20.

Медиана вычисляется как: $ \text{Медиана} = \frac{20 + 20}{2} = 20 $.

Ответ: Медиана этой выборки равна 20.

741 АНАЛИЗИРУЕМ

На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования представлены в следующей таблице:

а) Определите час пик — время, когда в вагоне едет максимальное число людей.

б) Найдите время, когда частота возрастной категории от 30 до 40 лет максимальна.

в) Какой процент от всех пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 20 до 50 лет?

а) Чтобы определить час пик, необходимо найти общее количество пассажиров для каждого временного промежутка. Для этого нужно просуммировать количество пассажиров всех возрастов (значения в каждом столбце) для каждого указанного времени.

Расчет общего числа пассажиров по времени:
- В 6 ч 30 мин: $1 + 3 + 9 + 15 + 12 + 15 + 4 + 1 + 0 = 60$ пассажиров.
- В 7 ч 30 мин: $3 + 5 + 11 + 25 + 36 + 31 + 9 + 4 + 2 = 126$ пассажиров.
- В 8 ч 30 мин: $5 + 15 + 20 + 38 + 50 + 43 + 24 + 5 + 0 = 200$ пассажиров.
- В 9 ч 30 мин: $13 + 20 + 18 + 35 + 42 + 36 + 17 + 5 + 3 = 189$ пассажиров.
- В 10 ч 30 мин: $16 + 11 + 15 + 17 + 37 + 29 + 16 + 6 + 1 = 158$ пассажиров.
- В 11 ч 30 мин: $11 + 5 + 7 + 15 + 18 + 12 + 14 + 6 + 2 = 90$ пассажиров.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что максимальное число пассажиров (200) было в 8 ч 30 мин. Следовательно, это время является часом пик.

Ответ: 8 ч 30 мин.

б) Чтобы найти время, когда частота возрастной категории от 30 до 40 лет максимальна, необходимо проанализировать данные из строки "30–40 лет" для каждого временного промежутка. В данном контексте под "частотой" понимается абсолютное число пассажиров данной возрастной группы.

Число пассажиров в возрасте от 30 до 40 лет:
- В 6 ч 30 мин: 12
- В 7 ч 30 мин: 36
- В 8 ч 30 мин: 50
- В 9 ч 30 мин: 42
- В 10 ч 30 мин: 37
- В 11 ч 30 мин: 18

Наибольшее число пассажиров в этой возрастной категории — 50, что было зафиксировано в 8 ч 30 мин.

Ответ: 8 ч 30 мин.

в) Чтобы определить, какой процент от всех пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч 30 мин, составляют люди в возрасте от 20 до 50 лет, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общее количество пассажиров в 11 ч 30 мин. Из пункта а) мы знаем, что это 90 человек. Или можно посчитать заново, сложив все значения в последнем столбце:
$11 + 5 + 7 + 15 + 18 + 12 + 14 + 6 + 2 = 90$ пассажиров.

2. Найти общее количество пассажиров в возрасте от 20 до 50 лет в 11 ч 30 мин. Для этого нужно сложить количество пассажиров из возрастных категорий "20–30 лет", "30–40 лет" и "40–50 лет":
$15 + 18 + 12 = 45$ пассажиров.

3. Рассчитать процентное соотношение, используя формулу: $ \text{Процент} = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\% $
$ \frac{45}{90} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\% $

Таким образом, люди в возрасте от 20 до 50 лет составляли 50% от всех пассажиров в 11 ч 30 мин.

Ответ: 50%.