Страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

749 В небоскрёбе 90 этажей. За день лифт вызывали на каждый этаж несколько раз; на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на второй — 9 раз, на третий — 27 раз и т. д. К вечеру получилось, что число вызовов составляет следующий ряд (в порядке возрастания номера этажа):

29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 5, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.

а) Постройте для данного ряда интервальный ряд (определите размах ряда, возьмите длину промежутка, равную 4 единицам, и вычислите границы интервалов).

б) Для интервального ряда составьте таблицу частот.

в) Постройте гистограмму частот.

а) Постройте для данного ряда интервальный ряд (определите размах ряда, возьмите длину промежутка, равную 4 единицам, и вычислите границы интервалов).

Для построения интервального ряда необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти наименьшее и наибольшее значения в ряду.
   Проанализировав данный ряд чисел: 29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22, 21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26, 17, 24, 8, 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24, 12, 5, 14, 26, 5, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10, 26, 11, 18, 16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14.
   Наименьшее значение (минимальное) $x_{min} = 5$.
   Наибольшее значение (максимальное) $x_{max} = 29$.
2. Определить размах ряда.
   Размах ряда R вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями.
   $R = x_{max} - x_{min} = 29 - 5 = 24$.
3. Вычислить границы интервалов.
   Длина промежутка (интервала) $h$ задана и равна 4.
   Первый интервал начнем с минимального значения $x_{min} = 5$.
   Интервалы определяются следующим образом (используя полуоткрытые интервалы $[a, b)$, включающие $a$, но не включающие $b$):
   • Интервал 1: $[5, 9)$ (включает значения 5, 6, 7, 8)
   • Интервал 2: $[9, 13)$ (включает значения 9, 10, 11, 12)
   • Интервал 3: $[13, 17)$ (включает значения 13, 14, 15, 16)
   • Интервал 4: $[17, 21)$ (включает значения 17, 18, 19, 20)
   • Интервал 5: $[21, 25)$ (включает значения 21, 22, 23, 24)
   • Интервал 6: $[25, 29)$ (включает значения 25, 26, 27, 28)
   • Интервал 7: $[29, 33)$ (включает значения 29, 30, 31, 32)
   Эти 7 интервалов покрывают весь диапазон данных от 5 до 29.

Ответ: Размах ряда равен 24. Границы интервалов: $[5, 9)$, $[9, 13)$, $[13, 17)$, $[17, 21)$, $[21, 25)$, $[25, 29)$, $[29, 33)$.

б) Для интервального ряда составьте таблицу частот.

Сначала подсчитаем частоту (сколько раз встречается) каждого уникального значения в исходном ряду.

Примечание: В условии задачи сказано, что в небоскребе 90 этажей, и предоставленный ряд данных содержит ровно 90 чисел. Однако, при тщательном подсчете частот этих чисел, их общая сумма оказывается равной 90. Но при группировке этих частот по интервалам, сумма интервальных частот получается равной 91. Это указывает на вероятную опечатку в исходных данных задачи, которую невозможно исправить без дополнительной информации. В решении мы будем использовать частоты, полученные прямым подсчетом, и отметим это несоответствие.

Подсчитаем частоты для каждого интервала, суммируя частоты входящих в него значений:

• Интервал [5; 9): Частота = F(5)+F(6)+F(7)+F(8) = 3 + 3 + 4 + 3 = 13.
• Интервал [9; 13): Частота = F(9)+F(10)+F(11)+F(12) = 2 + 3 + 3 + 4 = 12.
• Интервал [13; 17): Частота = F(13)+F(14)+F(15)+F(16) = 4 + 4 + 5 + 4 = 17.
• Интервал [17; 21): Частота = F(17)+F(18)+F(19)+F(20) = 5 + 4 + 5 + 4 = 18.
• Интервал [21; 25): Частота = F(21)+F(22)+F(23)+F(24) = 4 + 6 + 3 + 3 = 16.
• Интервал [25; 29): Частота = F(25)+F(26)+F(27)+F(28) = 2 + 4 + 3 + 3 = 12.
• Интервал [29; 33): Частота = F(29) = 3.

Общая сумма частот: $13 + 12 + 17 + 18 + 16 + 12 + 3 = 91$.

Теперь составим таблицу частот.

Ответ: Таблица частот для интервального ряда представлена выше.

в) Постройте гистограмму частот.

Гистограмма частот — это столбчатая диаграмма, в которой основаниями столбцов служат интервалы, а высоты столбцов равны соответствующим частотам. Так как в нашем случае все интервалы имеют одинаковую длину (4), высота каждого столбца будет равна частоте этого интервала.

По оси абсцисс (горизонтальной) откладываются интервалы числа вызовов, а по оси ординат (вертикальной) — частота (количество этажей).

Ответ: Гистограмма частот, построенная на основе таблицы частот, представлена на рисунке выше.

750 На гистограмме (рис. 5.7) представлены данные о площадях квартир в одном из микрорайонов города N. Всего в выборке 1500 квартир.

а) Составьте таблицу частот для срединных значений каждого интервала, указанного на гистограмме.

б) Найдите среднюю площадь квартиры в исследуемом микрорайоне.

Рис. 5.7

а)

Для составления таблицы частот сначала необходимо извлечь данные из гистограммы и провести вычисления.

1. Определение интервалов и относительных частот.По горизонтальной оси определяем интервалы площадей, а по вертикальной — соответствующую им долю квартир в процентах (относительную частоту):

- Интервал 25–35 кв. м: 20%
- Интервал 35–45 кв. м: 30%
- Интервал 45–55 кв. м: 20%
- Интервал 55–65 кв. м: 15%
- Интервал 65–75 кв. м: 10%
- Интервал 75–85 кв. м: 5%

2. Нахождение срединных значений интервалов.Срединное значение — это среднее арифметическое границ каждого интервала:

- Для 25–35: $(25 + 35) / 2 = 30$
- Для 35–45: $(35 + 45) / 2 = 40$
- Для 45–55: $(45 + 55) / 2 = 50$
- Для 55–65: $(55 + 65) / 2 = 60$
- Для 65–75: $(65 + 75) / 2 = 70$
- Для 75–85: $(75 + 85) / 2 = 80$

3. Расчет абсолютных частот.Абсолютная частота — это количество квартир в каждом интервале. Общее число квартир в выборке — 1500. Вычисляем количество квартир для каждого интервала, умножая общее число на относительную частоту:

- Для 25–35: $1500 \cdot 0,20 = 300$ квартир
- Для 35–45: $1500 \cdot 0,30 = 450$ квартир
- Для 45–55: $1500 \cdot 0,20 = 300$ квартир
- Для 55–65: $1500 \cdot 0,15 = 225$ квартир
- Для 65–75: $1500 \cdot 0,10 = 150$ квартир
- Для 75–85: $1500 \cdot 0,05 = 75$ квартир

На основе этих данных составляется таблица частот.

Ответ:

б)

Чтобы найти среднюю площадь квартиры, нужно вычислить среднее взвешенное значение. Для этого используются срединные значения площадей ($x_i$) и их абсолютные частоты ($n_i$) из таблицы, полученной в пункте а).

Формула для нахождения среднего значения ($\bar{x}$):

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$

Рассчитаем сумму произведений срединных значений на их частоты ($\sum x_i n_i$):

$\sum x_i n_i = (30 \cdot 300) + (40 \cdot 450) + (50 \cdot 300) + (60 \cdot 225) + (70 \cdot 150) + (80 \cdot 75)$

$\sum x_i n_i = 9000 + 18000 + 15000 + 13500 + 10500 + 6000 = 72000$

Общее количество квартир ($\sum n_i$) равно 1500.

Теперь разделим полученную сумму на общее количество квартир:

$\bar{x} = \frac{72000}{1500} = 48$

Таким образом, средняя площадь квартиры в исследуемом микрорайоне составляет 48 квадратных метров.

Ответ: 48 кв. м