Страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

752 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ

Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их:

а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22;

б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.

a)

Вычислим статистические показатели для первого набора чисел: 3, 7, 10, 11, 19.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_1$). Это сумма всех чисел, деленная на их количество.
$\bar{x}_1 = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

2. Дисперсия ($D_1$). Это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического.
$D_1 = \frac{(3-10)^2 + (7-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (19-10)^2}{5} = \frac{(-7)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 1^2 + 9^2}{5} = \frac{49 + 9 + 0 + 1 + 81}{5} = \frac{140}{5} = 28$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_1$). Это квадратный корень из дисперсии.
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{28} \approx 5.29$.

Теперь вычислим те же показатели для второго набора чисел: 10, 11, 15, 17, 22.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

2. Дисперсия ($D_2$):
$D_2 = \frac{(10-15)^2 + (11-15)^2 + (15-15)^2 + (17-15)^2 + (22-15)^2}{5} = \frac{(-5)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 7^2}{5} = \frac{25 + 16 + 0 + 4 + 49}{5} = \frac{94}{5} = 18.8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{18.8} \approx 4.34$.

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора ($\bar{x}_2 = 15$) больше среднего первого ($\bar{x}_1 = 10$).
Дисперсия и стандартное отклонение первого набора ($D_1 = 28$, $\sigma_1 = \sqrt{28}$) больше, чем у второго ($D_2 = 18.8$, $\sigma_2 = \sqrt{18.8}$). Это означает, что данные в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, чем данные во втором наборе.

Ответ: для набора (3, 7, 10, 11, 19) среднее арифметическое равно 10, дисперсия 28, стандартное отклонение $\sqrt{28}$. Для набора (10, 11, 15, 17, 22) среднее арифметическое равно 15, дисперсия 18.8, стандартное отклонение $\sqrt{18.8}$.

б)

Вычислим статистические показатели для первого набора чисел: 1, 3, 5, 7, 9.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_1$):
$\bar{x}_1 = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

2. Дисперсия ($D_1$):
$D_1 = \frac{(1-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5} = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_1$):
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Теперь вычислим те же показатели для второго набора чисел: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

2. Дисперсия ($D_2$):
$D_2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора ($\bar{x}_2 = 6$) больше среднего первого ($\bar{x}_1 = 5$).
Дисперсии и стандартные отклонения обоих наборов равны ($D_1 = D_2 = 8$, $\sigma_1 = \sigma_2 = \sqrt{8}$). Это означает, что оба набора данных имеют одинаковую степень разброса. Это логично, поскольку второй набор получен из первого путем прибавления числа 1 к каждому элементу, что смещает среднее значение на 1, но не изменяет меру разброса.

Ответ: для набора (1, 3, 5, 7, 9) среднее арифметическое равно 5, дисперсия 8, стандартное отклонение $\sqrt{8}$. Для набора (2, 4, 6, 8, 10) среднее арифметическое равно 6, дисперсия 8, стандартное отклонение $\sqrt{8}$.

753 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ
Найдите размах и стандартное отклонение своих отметок по алгебре за год. Проанализируйте полученные результаты.

Поскольку эта задача требует личных данных (отметок по алгебре), которых у меня нет, я приведу решение на примере гипотетического набора отметок ученика за год. Этот пример покажет методику расчетов, которую вы сможете применить к своим собственным данным.

Допустим, ученик получил за год по алгебре следующие 10 отметок (по 5-балльной системе):

4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 4, 5

Размах ряда данных – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

1. Найдем наибольшую отметку в ряду: $x_{max} = 5$.

2. Найдем наименьшую отметку в ряду: $x_{min} = 2$.

3. Вычислим размах $R$:

$R = x_{max} - x_{min} = 5 - 2 = 3$

Ответ: размах отметок равен 3.

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение – это мера разброса данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.

Формула для стандартного отклонения $\sigma$:

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

где $x_i$ – это каждая отметка, $\bar{x}$ – среднее арифметическое всех отметок, а $n$ – количество отметок.

1. Вычислим среднее арифметическое ($\bar{x}$) отметок.

Количество отметок $n = 10$.

$\bar{x} = \frac{4+5+3+4+4+5+2+3+4+5}{10} = \frac{39}{10} = 3.9$

2. Вычислим квадрат разности каждой отметки и среднего значения $(x_i - \bar{x})^2$.

$(4 - 3.9)^2 = 0.1^2 = 0.01$ (таких отметок 4)

$(5 - 3.9)^2 = 1.1^2 = 1.21$ (таких отметок 3)

$(3 - 3.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81$ (таких отметок 2)

$(2 - 3.9)^2 = (-1.9)^2 = 3.61$ (такая отметка 1)

3. Найдем сумму квадратов разностей $\sum(x_i - \bar{x})^2$.

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 \cdot 0.01 + 3 \cdot 1.21 + 2 \cdot 0.81 + 1 \cdot 3.61 = 0.04 + 3.63 + 1.62 + 3.61 = 8.9$

4. Вычислим дисперсию $\sigma^2$ (среднее значение суммы квадратов разностей).

$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{8.9}{10} = 0.89$

5. Вычислим стандартное отклонение $\sigma$ (квадратный корень из дисперсии).

$\sigma = \sqrt{0.89} \approx 0.943$

Ответ: стандартное отклонение отметок примерно равно 0.94.

Проанализируем полученные значения для нашего гипотетического набора отметок: {4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 4, 5}.

Размах, равный 3, показывает, что успеваемость ученика в течение года была нестабильной. Разница между лучшей ("отлично") и худшей ("неудовлетворительно") отметками составляет 3 балла, что является значительной величиной для 5-балльной системы. Это может указывать на то, что некоторые темы давались ученику легко, а другие вызывали серьезные трудности, или же на неравномерную подготовку к занятиям и контрольным работам.

Среднее арифметическое равно 3.9, что близко к отметке "хорошо". Однако это значение не полностью отражает картину успеваемости из-за наличия как "пятерок", так и одной "двойки".

Стандартное отклонение, равное примерно 0.94, количественно характеризует разброс данных. Чем больше это значение, тем менее стабильны результаты. В данном случае значение около 1 балла подтверждает вывод, сделанный на основе размаха: отметки ученика заметно отклоняются от среднего значения (3.9). Большинство отметок (семь из десяти) — это "4" и "5", но наличие "2" и "3" значительно увеличивает разброс и, следовательно, стандартное отклонение. Это говорит о том, что успеваемость ученика не является предсказуемой и стабильной.

Вывод: Ученик в целом учится на "хорошо" (средний балл 3.9), но его успеваемость нестабильна (размах 3, стандартное отклонение 0.94). Для повышения стабильности результатов ему следует обратить внимание на темы, по которым были получены низкие оценки, и стремиться к более равномерной подготовке в течение всего учебного периода.

Ответ: размах, равный 3, и стандартное отклонение, равное 0.94, свидетельствуют о значительной нестабильности в успеваемости ученика по алгебре в течение года, несмотря на довольно высокий средний балл (3.9).

754 Жалобы на опоздания электричек, поступившие в диспетчерскую станцию Семафорово в течение недели, позволили составить диаграмму частот по опозданиям за неделю (рис. 5.9). Определите среднее число опозданий за неделю и стандартное отклонение.

Число опозданий:

Пн: 2

Вт: 3

Ср: 4

Чт: 5

Пт: 4

Сб: 2

Вс: 1

Рис. 5.9

Среднее число опозданий за неделю

Для решения задачи сначала определим количество опозданий за каждый день недели, используя данные с диаграммы частот (рис. 5.9):
Понедельник (Пн): 2
Вторник (Вт): 3
Среда (Ср): 4
Четверг (Чт): 5
Пятница (Пт): 4
Суббота (Сб): 2
Воскресенье (Вс): 1
Таким образом, мы имеем набор данных: {2, 3, 4, 5, 4, 2, 1}. Общее число наблюдений (дней в неделе) $n = 7$.

Среднее число опозданий за неделю ($\bar{x}$) вычисляется как среднее арифметическое, то есть сумма всех значений, деленная на их количество.
Формула для среднего значения: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

Найдем общую сумму опозданий за неделю:
$\sum x_i = 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 1 = 21$.

Теперь разделим полученную сумму на количество дней в неделе:
$\bar{x} = \frac{21}{7} = 3$.
Следовательно, среднее число опозданий за неделю составляет 3.
Ответ: 3.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение ($\sigma$) является мерой разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
Формула для стандартного отклонения: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$.

Мы уже знаем среднее значение $\bar{x} = 3$. Теперь для каждого значения из набора данных найдем квадрат разности между этим значением и средним (квадрат отклонения):
Для $x_1 = 2$: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$
Для $x_2 = 3$: $(3 - 3)^2 = 0^2 = 0$
Для $x_3 = 4$: $(4 - 3)^2 = 1^2 = 1$
Для $x_4 = 5$: $(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$
Для $x_5 = 4$: $(4 - 3)^2 = 1^2 = 1$
Для $x_6 = 2$: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$
Для $x_7 = 1$: $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$

Найдем сумму этих квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

Теперь вычислим дисперсию ($\sigma^2$), которая равна среднему значению квадратов отклонений:
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{12}{7}$.

Наконец, вычислим стандартное отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{12}{7}} \approx 1.3093...$
Округляя результат до сотых, получаем $\sigma \approx 1.31$.
Ответ: $\sqrt{\frac{12}{7}} \approx 1.31$.