Номер 753, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 753, страница 307.

753 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ
Найдите размах и стандартное отклонение своих отметок по алгебре за год. Проанализируйте полученные результаты.

Поскольку эта задача требует личных данных (отметок по алгебре), которых у меня нет, я приведу решение на примере гипотетического набора отметок ученика за год. Этот пример покажет методику расчетов, которую вы сможете применить к своим собственным данным.

Допустим, ученик получил за год по алгебре следующие 10 отметок (по 5-балльной системе):

4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 4, 5

Нахождение размаха

Размах ряда данных – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

1. Найдем наибольшую отметку в ряду: $x_{max} = 5$.

2. Найдем наименьшую отметку в ряду: $x_{min} = 2$.

3. Вычислим размах $R$:

$R = x_{max} - x_{min} = 5 - 2 = 3$

Ответ: размах отметок равен 3.

Нахождение стандартного отклонения

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение – это мера разброса данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.

Формула для стандартного отклонения $\sigma$:

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$

где $x_i$ – это каждая отметка, $\bar{x}$ – среднее арифметическое всех отметок, а $n$ – количество отметок.

1. Вычислим среднее арифметическое ($\bar{x}$) отметок.

Количество отметок $n = 10$.

$\bar{x} = \frac{4+5+3+4+4+5+2+3+4+5}{10} = \frac{39}{10} = 3.9$

2. Вычислим квадрат разности каждой отметки и среднего значения $(x_i - \bar{x})^2$.

$(4 - 3.9)^2 = 0.1^2 = 0.01$ (таких отметок 4)

$(5 - 3.9)^2 = 1.1^2 = 1.21$ (таких отметок 3)

$(3 - 3.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81$ (таких отметок 2)

$(2 - 3.9)^2 = (-1.9)^2 = 3.61$ (такая отметка 1)

3. Найдем сумму квадратов разностей $\sum(x_i - \bar{x})^2$.

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 \cdot 0.01 + 3 \cdot 1.21 + 2 \cdot 0.81 + 1 \cdot 3.61 = 0.04 + 3.63 + 1.62 + 3.61 = 8.9$

4. Вычислим дисперсию $\sigma^2$ (среднее значение суммы квадратов разностей).

$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{8.9}{10} = 0.89$

5. Вычислим стандартное отклонение $\sigma$ (квадратный корень из дисперсии).

$\sigma = \sqrt{0.89} \approx 0.943$

Ответ: стандартное отклонение отметок примерно равно 0.94.

Анализ полученных результатов

Проанализируем полученные значения для нашего гипотетического набора отметок: {4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 4, 5}.

Размах, равный 3, показывает, что успеваемость ученика в течение года была нестабильной. Разница между лучшей ("отлично") и худшей ("неудовлетворительно") отметками составляет 3 балла, что является значительной величиной для 5-балльной системы. Это может указывать на то, что некоторые темы давались ученику легко, а другие вызывали серьезные трудности, или же на неравномерную подготовку к занятиям и контрольным работам.

Среднее арифметическое равно 3.9, что близко к отметке "хорошо". Однако это значение не полностью отражает картину успеваемости из-за наличия как "пятерок", так и одной "двойки".

Стандартное отклонение, равное примерно 0.94, количественно характеризует разброс данных. Чем больше это значение, тем менее стабильны результаты. В данном случае значение около 1 балла подтверждает вывод, сделанный на основе размаха: отметки ученика заметно отклоняются от среднего значения (3.9). Большинство отметок (семь из десяти) — это "4" и "5", но наличие "2" и "3" значительно увеличивает разброс и, следовательно, стандартное отклонение. Это говорит о том, что успеваемость ученика не является предсказуемой и стабильной.

Вывод: Ученик в целом учится на "хорошо" (средний балл 3.9), но его успеваемость нестабильна (размах 3, стандартное отклонение 0.94). Для повышения стабильности результатов ему следует обратить внимание на темы, по которым были получены низкие оценки, и стремиться к более равномерной подготовке в течение всего учебного периода.

Ответ: размах, равный 3, и стандартное отклонение, равное 0.94, свидетельствуют о значительной нестабильности в успеваемости ученика по алгебре в течение года, несмотря на довольно высокий средний балл (3.9).