Номер 757, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 757, страница 308.

757 На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длины каждого. Ниже представлены полученные величины (в см):

20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.

а) Определите среднюю длину кирпича.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

В задаче дана выборка из 20 измерений длины кирпичей (в см):

20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.

Общее количество измерений $n=20$.

а) Определите среднюю длину кирпича.

Средняя длина (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Сначала найдем сумму всех измеренных длин:

$\sum x_i = 20,5 + 20,1 + 21,3 + 20,3 + 19,8 + 19,2 + 20,1 + 19,6 + 20,2 + 20 + 20,5 + 19,7 + 19,9 + 20,5 + 19,6 + 20,1 + 19,4 + 19,8 + 19,1 + 20,3 = 400$

Теперь разделим сумму на количество измерений:

$\bar{x} = \frac{400}{20} = 20$ см.

Ответ: средняя длина кирпича составляет 20 см.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

Стандартное отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии ($\sigma^2$). Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего значения.

Формула дисперсии:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Мы уже знаем, что средняя длина $\bar{x} = 20$ см. Рассчитаем квадраты отклонений для каждого значения:

$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(21,3 - 20)^2 = 1,3^2 = 1,69$
$(20,3 - 20)^2 = 0,3^2 = 0,09$
$(19,8 - 20)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$
$(19,2 - 20)^2 = (-0,8)^2 = 0,64$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(19,6 - 20)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
$(20,2 - 20)^2 = 0,2^2 = 0,04$
$(20 - 20)^2 = 0^2 = 0$
$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(19,7 - 20)^2 = (-0,3)^2 = 0,09$
$(19,9 - 20)^2 = (-0,1)^2 = 0,01$
$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(19,6 - 20)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(19,4 - 20)^2 = (-0,6)^2 = 0,36$
$(19,8 - 20)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$
$(19,1 - 20)^2 = (-0,9)^2 = 0,81$
$(20,3 - 20)^2 = 0,3^2 = 0,09$

Теперь найдем сумму этих квадратов:

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 0,25 + 0,01 + 1,69 + 0,09 + 0,04 + 0,64 + 0,01 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0,25 + 0,09 + 0,01 + 0,25 + 0,16 + 0,01 + 0,36 + 0,04 + 0,81 + 0,09 = 5$

Вычислим дисперсию:

$\sigma^2 = \frac{5}{20} = 0,25$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5$ см.

Ответ: величина стандартного отклонения составляет 0,5 см.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

Этот вопрос состоит из двух частей.

1. Процент кирпичей, длина которых отличается от средней ($\bar{x}=20$ см) больше чем на 0,2 см.

Нам нужно найти количество кирпичей, для которых выполняется условие $|x_i - 20| > 0,2$. Это эквивалентно $x_i < 19,8$ см или $x_i > 20,2$ см.

Найдем такие значения в исходных данных:

Значения, которые больше 20,2: 20,5; 21,3; 20,3; 20,5; 20,5; 20,3 (всего 6 значений).
Значения, которые меньше 19,8: 19,2; 19,6; 19,7; 19,6; 19,4; 19,1 (всего 6 значений).

Общее количество таких кирпичей: $6 + 6 = 12$.

Всего в выборке 20 кирпичей. Найдем процент:

$\frac{12}{20} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\%$

2. Процент кирпичей, длина которых отличается от средней ($\bar{x}=20$ см) больше чем на величину стандартного отклонения ($\sigma=0,5$ см).

Нам нужно найти количество кирпичей, для которых выполняется условие $|x_i - 20| > 0,5$. Это эквивалентно $x_i < 19,5$ см или $x_i > 20,5$ см.

Найдем такие значения в исходных данных:

Значения, которые больше 20,5: 21,3 (1 значение).
Значения, которые меньше 19,5: 19,2; 19,4; 19,1 (3 значения).

Общее количество таких кирпичей: $1 + 3 = 4$.

Всего в выборке 20 кирпичей. Найдем процент:

$\frac{4}{20} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: 60% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на 0,2 см; 20% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на величину стандартного отклонения.