Номер 755, страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 755, страница 308.

755 В таблице указано число книг, прочитанных несколькими ребятами за летние каникулы. Для данного ряда вычислите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Назовите имена тех ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение.

Имя: Аня, Витя, Игорь, Оля, Петя, Катя, Лена, Саша

Число книг: 8, 10, 6, 1, 0, 7, 5, 3

Для решения задачи необходимо выполнить три последовательных шага: вычислить среднее арифметическое, затем стандартное отклонение и, наконец, сравнить отклонения для каждого ученика со стандартным отклонением.

1. Вычисление среднего арифметического

Исходный ряд данных, представляющий количество прочитанных книг: 8, 10, 6, 1, 0, 7, 5, 3.
Общее количество данных в ряду (число ребят) $n = 8$.
Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Формула:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
Найдем сумму всех значений в ряду:
$\sum x_i = 8 + 10 + 6 + 1 + 0 + 7 + 5 + 3 = 40$
Теперь рассчитаем среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{40}{8} = 5$

Ответ: Среднее арифметическое количества прочитанных книг равно 5.

2. Вычисление стандартного отклонения

Стандартное отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии ($D$). Дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического.
Формула для дисперсии:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$
Зная, что среднее $\bar{x} = 5$, вычислим квадраты отклонений для каждого значения:
$(8 - 5)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 5)^2 = 5^2 = 25$
$(6 - 5)^2 = 1^2 = 1$
$(1 - 5)^2 = (-4)^2 = 16$
$(0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$
$(7 - 5)^2 = 2^2 = 4$
$(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
$(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4$
Найдем сумму этих квадратов отклонений:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 9 + 25 + 1 + 16 + 25 + 4 + 0 + 4 = 84$
Вычислим дисперсию:
$D = \frac{84}{8} = 10.5$
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{10.5} \approx 3.24$

Ответ: Стандартное отклонение равно $\sqrt{10.5}$.

3. Имена ребят, для которых модуль разности превышает стандартное отклонение

Нам необходимо найти ребят, для которых выполняется условие $|x_i - \bar{x}| > \sigma$.
Подставим известные значения: $\bar{x} = 5$ и $\sigma = \sqrt{10.5}$. Условие принимает вид: $|x_i - 5| > \sqrt{10.5}$.
Чтобы упростить сравнение, можно возвести обе части неравенства в квадрат: $(x_i - 5)^2 > 10.5$. Мы уже рассчитали значения $(x_i - 5)^2$ на предыдущем шаге.
Проверим это условие для каждого из ребят:
Аня: $(8 - 5)^2 = 9$. Так как $9 < 10.5$, условие не выполняется.
Витя: $(10 - 5)^2 = 25$. Так как $25 > 10.5$, условие выполняется.
Игорь: $(6 - 5)^2 = 1$. Так как $1 < 10.5$, условие не выполняется.
Оля: $(1 - 5)^2 = 16$. Так как $16 > 10.5$, условие выполняется.
Петя: $(0 - 5)^2 = 25$. Так как $25 > 10.5$, условие выполняется.
Катя: $(7 - 5)^2 = 4$. Так как $4 < 10.5$, условие не выполняется.
Лена: $(5 - 5)^2 = 0$. Так как $0 < 10.5$, условие не выполняется.
Саша: $(3 - 5)^2 = 4$. Так как $4 < 10.5$, условие не выполняется.

Ответ: Имена ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение: Витя, Оля, Петя.