Номер 752, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 752, страница 307.

752 ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ

Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их:

а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22;

б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.

a)

Вычислим статистические показатели для первого набора чисел: 3, 7, 10, 11, 19.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_1$). Это сумма всех чисел, деленная на их количество.
$\bar{x}_1 = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

2. Дисперсия ($D_1$). Это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического.
$D_1 = \frac{(3-10)^2 + (7-10)^2 + (10-10)^2 + (11-10)^2 + (19-10)^2}{5} = \frac{(-7)^2 + (-3)^2 + 0^2 + 1^2 + 9^2}{5} = \frac{49 + 9 + 0 + 1 + 81}{5} = \frac{140}{5} = 28$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_1$). Это квадратный корень из дисперсии.
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{28} \approx 5.29$.

Теперь вычислим те же показатели для второго набора чисел: 10, 11, 15, 17, 22.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

2. Дисперсия ($D_2$):
$D_2 = \frac{(10-15)^2 + (11-15)^2 + (15-15)^2 + (17-15)^2 + (22-15)^2}{5} = \frac{(-5)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 2^2 + 7^2}{5} = \frac{25 + 16 + 0 + 4 + 49}{5} = \frac{94}{5} = 18.8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{18.8} \approx 4.34$.

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора ($\bar{x}_2 = 15$) больше среднего первого ($\bar{x}_1 = 10$).
Дисперсия и стандартное отклонение первого набора ($D_1 = 28$, $\sigma_1 = \sqrt{28}$) больше, чем у второго ($D_2 = 18.8$, $\sigma_2 = \sqrt{18.8}$). Это означает, что данные в первом наборе более разбросаны относительно своего среднего значения, чем данные во втором наборе.

Ответ: для набора (3, 7, 10, 11, 19) среднее арифметическое равно 10, дисперсия 28, стандартное отклонение $\sqrt{28}$. Для набора (10, 11, 15, 17, 22) среднее арифметическое равно 15, дисперсия 18.8, стандартное отклонение $\sqrt{18.8}$.

б)

Вычислим статистические показатели для первого набора чисел: 1, 3, 5, 7, 9.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_1$):
$\bar{x}_1 = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

2. Дисперсия ($D_1$):
$D_1 = \frac{(1-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{5} = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_1$):
$\sigma_1 = \sqrt{D_1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Теперь вычислим те же показатели для второго набора чисел: 2, 4, 6, 8, 10.

1. Среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
$\bar{x}_2 = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

2. Дисперсия ($D_2$):
$D_2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5} = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

3. Стандартное отклонение ($\sigma_2$):
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$.

Сравнение:
Среднее арифметическое второго набора ($\bar{x}_2 = 6$) больше среднего первого ($\bar{x}_1 = 5$).
Дисперсии и стандартные отклонения обоих наборов равны ($D_1 = D_2 = 8$, $\sigma_1 = \sigma_2 = \sqrt{8}$). Это означает, что оба набора данных имеют одинаковую степень разброса. Это логично, поскольку второй набор получен из первого путем прибавления числа 1 к каждому элементу, что смещает среднее значение на 1, но не изменяет меру разброса.

Ответ: для набора (1, 3, 5, 7, 9) среднее арифметическое равно 5, дисперсия 8, стандартное отклонение $\sqrt{8}$. Для набора (2, 4, 6, 8, 10) среднее арифметическое равно 6, дисперсия 8, стандартное отклонение $\sqrt{8}$.