Номер 745, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.1. Выборочные исследования. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 745, страница 297.

745 АНАЛИЗИРУЕМ Администрация города опубликовала данные о числе комнат в квартирах горожан. Результаты показаны на диаграмме (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Чтобы проверить эти данные, представители независимой организации ста прохожим на улице задали вопрос: «Сколько комнат в вашей квартире?» Ниже приведены ответы в порядке поступления:

2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 6, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 4.

Постройте полигоны частот по данным, опубликованным администрацией и полученным в ходе опроса.

Соответствуют ли данные, полученные по выборке, данным, приведённым администрацией?

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала обработать оба набора данных и подготовить их для построения полигонов, а затем сравнить их для ответа на второй вопрос.

Постройте полигоны частот по данным, опубликованным администрацией и полученным в ходе опроса.

Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки, у которых абсциссы (горизонтальная ось) – это значения вариант (в данном случае, число комнат), а ординаты (вертикальная ось) – соответствующие им частоты (в данном случае, процент квартир). Для наглядного сравнения мы будем использовать относительные частоты (проценты) для обоих наборов данных.

1. Данные администрации (из диаграммы).

Снимем значения с гистограммы (рис. 5.5). Они представляют собой процент квартир для каждого типа.

• 1-комнатные: 30%
• 2-комнатные: 35%
• 3-комнатные: 15%
• 4-комнатные: 10%
• 5-комнатные: 5%
• 6-комнатные: примерно 2.5% (столбец находится на полпути между 0 и 5).

Таким образом, точки для первого полигона (администрации): (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 2.5).

2. Данные независимого опроса.

Сначала нужно обработать сырые данные, полученные в ходе опроса 100 прохожих (хотя в представленном списке 66 ответов, будем работать с имеющимися данными). Подсчитаем, сколько раз встречается каждое значение (абсолютная частота).

Общее число опрошенных в выборке $n = 66$.

• Число "1" (однокомнатные): 20 раз.
• Число "2" (двухкомнатные): 23 раза.
• Число "3" (трехкомнатные): 9 раз.
• Число "4" (четырехкомнатные): 7 раз.
• Число "5" (пятикомнатные): 5 раз.
• Число "6" (шестикомнатные): 2 раза.

Проверка: $20 + 23 + 9 + 7 + 5 + 2 = 66$. Верно.

Теперь найдем относительные частоты (проценты) для каждого значения, чтобы их можно было сравнить с данными администрации.

• 1-комнатные: $ (20 / 66) \cdot 100\% \approx 30.3\% $
• 2-комнатные: $ (23 / 66) \cdot 100\% \approx 34.8\% $
• 3-комнатные: $ (9 / 66) \cdot 100\% \approx 13.6\% $
• 4-комнатные: $ (7 / 66) \cdot 100\% \approx 10.6\% $
• 5-комнатные: $ (5 / 66) \cdot 100\% \approx 7.6\% $
• 6-комнатные: $ (2 / 66) \cdot 100\% \approx 3.0\% $

Точки для второго полигона (опроса): (1; 30.3), (2; 34.8), (3; 13.6), (4; 10.6), (5; 7.6), (6; 3.0).

Сводная таблица данных:

Число комнат	Данные администрации, %	Данные опроса, %
1	30	30.3
2	35	34.8
3	15	13.6
4	10	10.6
5	5	7.6
6	2.5	3.0

Ответ: Для построения полигона частот администрации необходимо на координатной плоскости отметить точки (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 2.5) и соединить их последовательно отрезками. Для построения полигона частот по данным опроса нужно отметить точки (1; 30.3), (2; 34.8), (3; 13.6), (4; 10.6), (5; 7.6), (6; 3.0) и также соединить их отрезками. Ось абсцисс — «Число комнат», ось ординат — «Количество квартир, %».

Соответствуют ли данные, полученные по выборке, данным, приведённым администрацией?

Для ответа на этот вопрос сравним процентные соотношения, полученные из обоих источников (см. таблицу выше).

• Для 1-комнатных квартир расхождение минимально: 30% (адм.) и 30.3% (опрос).
• Для 2-комнатных квартир расхождение также очень мало: 35% (адм.) и 34.8% (опрос).
• Для 3-комнатных квартир разница составляет $15\% - 13.6\% = 1.4\%$.
• Для 4-комнатных квартир разница $10.6\% - 10\% = 0.6\%$.
• Для 5-комнатных квартир разница заметнее: $7.6\% - 5\% = 2.6\%$.
• Для 6-комнатных квартир разница мала: $3.0\% - 2.5\% = 0.5\%$.

Видно, что общая тенденция распределения квартир по числу комнат в обеих выборках очень похожа: самыми массовыми являются двухкомнатные квартиры, за ними идут однокомнатные, затем трехкомнатные и так далее по убыванию.

Небольшие расхождения, особенно для квартир с 1, 2, 4 и 6 комнатами, можно объяснить статистической погрешностью, свойственной любому выборочному исследованию. Наибольшее относительное расхождение наблюдается для 5-комнатных квартир, но в целом картина распределения совпадает.

Ответ: Да, данные, полученные по выборке, в целом соответствуют данным, приведённым администрацией. Форма распределения и процентные доли для наиболее распространенных типов квартир (1- и 2-комнатные) практически совпадают, а небольшие расхождения по остальным категориям, вероятнее всего, вызваны случайностью выборки.