Страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

745 АНАЛИЗИРУЕМ Администрация города опубликовала данные о числе комнат в квартирах горожан. Результаты показаны на диаграмме (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Чтобы проверить эти данные, представители независимой организации ста прохожим на улице задали вопрос: «Сколько комнат в вашей квартире?» Ниже приведены ответы в порядке поступления:

2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 6, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 4.

Постройте полигоны частот по данным, опубликованным администрацией и полученным в ходе опроса.

Соответствуют ли данные, полученные по выборке, данным, приведённым администрацией?

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала обработать оба набора данных и подготовить их для построения полигонов, а затем сравнить их для ответа на второй вопрос.

Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки, у которых абсциссы (горизонтальная ось) – это значения вариант (в данном случае, число комнат), а ординаты (вертикальная ось) – соответствующие им частоты (в данном случае, процент квартир). Для наглядного сравнения мы будем использовать относительные частоты (проценты) для обоих наборов данных.

1. Данные администрации (из диаграммы).

Снимем значения с гистограммы (рис. 5.5). Они представляют собой процент квартир для каждого типа.

• 1-комнатные: 30%
• 2-комнатные: 35%
• 3-комнатные: 15%
• 4-комнатные: 10%
• 5-комнатные: 5%
• 6-комнатные: примерно 2.5% (столбец находится на полпути между 0 и 5).

Таким образом, точки для первого полигона (администрации): (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 2.5).

2. Данные независимого опроса.

Сначала нужно обработать сырые данные, полученные в ходе опроса 100 прохожих (хотя в представленном списке 66 ответов, будем работать с имеющимися данными). Подсчитаем, сколько раз встречается каждое значение (абсолютная частота).

Общее число опрошенных в выборке $n = 66$.

• Число "1" (однокомнатные): 20 раз.
• Число "2" (двухкомнатные): 23 раза.
• Число "3" (трехкомнатные): 9 раз.
• Число "4" (четырехкомнатные): 7 раз.
• Число "5" (пятикомнатные): 5 раз.
• Число "6" (шестикомнатные): 2 раза.

Проверка: $20 + 23 + 9 + 7 + 5 + 2 = 66$. Верно.

Теперь найдем относительные частоты (проценты) для каждого значения, чтобы их можно было сравнить с данными администрации.

• 1-комнатные: $ (20 / 66) \cdot 100\% \approx 30.3\% $
• 2-комнатные: $ (23 / 66) \cdot 100\% \approx 34.8\% $
• 3-комнатные: $ (9 / 66) \cdot 100\% \approx 13.6\% $
• 4-комнатные: $ (7 / 66) \cdot 100\% \approx 10.6\% $
• 5-комнатные: $ (5 / 66) \cdot 100\% \approx 7.6\% $
• 6-комнатные: $ (2 / 66) \cdot 100\% \approx 3.0\% $

Точки для второго полигона (опроса): (1; 30.3), (2; 34.8), (3; 13.6), (4; 10.6), (5; 7.6), (6; 3.0).

Сводная таблица данных:

Ответ: Для построения полигона частот администрации необходимо на координатной плоскости отметить точки (1; 30), (2; 35), (3; 15), (4; 10), (5; 5), (6; 2.5) и соединить их последовательно отрезками. Для построения полигона частот по данным опроса нужно отметить точки (1; 30.3), (2; 34.8), (3; 13.6), (4; 10.6), (5; 7.6), (6; 3.0) и также соединить их отрезками. Ось абсцисс — «Число комнат», ось ординат — «Количество квартир, %».

Для ответа на этот вопрос сравним процентные соотношения, полученные из обоих источников (см. таблицу выше).

• Для 1-комнатных квартир расхождение минимально: 30% (адм.) и 30.3% (опрос).
• Для 2-комнатных квартир расхождение также очень мало: 35% (адм.) и 34.8% (опрос).
• Для 3-комнатных квартир разница составляет $15\% - 13.6\% = 1.4\%$.
• Для 4-комнатных квартир разница $10.6\% - 10\% = 0.6\%$.
• Для 5-комнатных квартир разница заметнее: $7.6\% - 5\% = 2.6\%$.
• Для 6-комнатных квартир разница мала: $3.0\% - 2.5\% = 0.5\%$.

Видно, что общая тенденция распределения квартир по числу комнат в обеих выборках очень похожа: самыми массовыми являются двухкомнатные квартиры, за ними идут однокомнатные, затем трехкомнатные и так далее по убыванию.

Небольшие расхождения, особенно для квартир с 1, 2, 4 и 6 комнатами, можно объяснить статистической погрешностью, свойственной любому выборочному исследованию. Наибольшее относительное расхождение наблюдается для 5-комнатных квартир, но в целом картина распределения совпадает.

Ответ: Да, данные, полученные по выборке, в целом соответствуют данным, приведённым администрацией. Форма распределения и процентные доли для наиболее распространенных типов квартир (1- и 2-комнатные) практически совпадают, а небольшие расхождения по остальным категориям, вероятнее всего, вызваны случайностью выборки.

746 Статистика аварий говорит о том, что за 10 лет на самолётах авиакомпании ABC было в три раза больше происшествий, чем на самолётах авиакомпании DEF, но в два раза меньше, чем на самолётах авиакомпании GHI.

а) Определите относительную частоту происшествий на самолётах авиакомпании DEF среди общего числа аварий самолётов этих авиакомпаний.

б) Какой процент от общего числа происшествий занимают происшествия на самолётах авиакомпании GHI?

в) Постройте диаграмму частот аварий.

г) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий, то сколько пришлось на каждую авиакомпанию?

Для решения задачи введем переменную и выразим количество происшествий для каждой авиакомпании через нее. Пусть $x$ — количество происшествий на самолётах авиакомпании DEF.

Исходя из условий задачи:

• Количество происшествий у авиакомпании ABC в три раза больше, чем у DEF, следовательно, оно равно $3x$.
• Количество происшествий у авиакомпании ABC в два раза меньше, чем у GHI. Это значит, что у GHI вдвое больше происшествий, чем у ABC, то есть $2 \times (3x) = 6x$.

Общее (суммарное) количество происшествий для трех авиакомпаний равно сумме их индивидуальных происшествий: $N_{общ} = x (\text{DEF}) + 3x (\text{ABC}) + 6x (\text{GHI}) = 10x$.

а) Определите относительную частоту происшествий на самолётах авиакомпании DEF среди общего числа аварий самолётов этих авиакомпаний.

Относительная частота события — это отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов. В данном случае, это отношение числа происшествий у DEF к общему числу происшествий.

Относительная частота для DEF вычисляется по формуле:$W(\text{DEF}) = \frac{\text{Количество происшествий DEF}}{\text{Общее количество происшествий}} = \frac{x}{10x} = \frac{1}{10} = 0.1$

Ответ: Относительная частота происшествий для авиакомпании DEF равна $0.1$.

б) Какой процент от общего числа происшествий занимают происшествия на самолётах авиакомпании GHI?

Чтобы найти процент, необходимо долю происшествий авиакомпании GHI от общего числа умножить на 100%.

Доля для GHI: $ \frac{\text{Количество происшествий GHI}}{\text{Общее количество происшествий}} = \frac{6x}{10x} = 0.6 $

Процент для GHI: $0.6 \times 100\% = 60\%$

Ответ: Происшествия на самолётах авиакомпании GHI составляют $60\%$ от общего числа.

в) Постройте диаграмму частот аварий.

Для построения диаграммы найдем относительные частоты для каждой авиакомпании:

• Частота для ABC: $W(\text{ABC}) = \frac{3x}{10x} = 0.3$
• Частота для DEF: $W(\text{DEF}) = \frac{x}{10x} = 0.1$
• Частота для GHI: $W(\text{GHI}) = \frac{6x}{10x} = 0.6$

Ниже представлена столбчатая диаграмма, иллюстрирующая эти частоты.

Ответ: Диаграмма частот аварий построена выше.

г) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий, то сколько пришлось на каждую авиакомпанию?

Общее количество происшествий, выраженное через $x$, равно $10x$. По условию, это значение равно 300.

Составим и решим уравнение: $10x = 300$

$x = \frac{300}{10} = 30$

Теперь, зная значение $x$, найдем количество происшествий для каждой компании:

• Авиакомпания DEF: $x = 30$ происшествий.
• Авиакомпания ABC: $3x = 3 \times 30 = 90$ происшествий.
• Авиакомпания GHI: $6x = 6 \times 30 = 180$ происшествий.

Для проверки сложим полученные значения: $30 + 90 + 180 = 300$, что соответствует общему числу происшествий.

Ответ: На авиакомпанию DEF пришлось 30 происшествий, на авиакомпанию ABC — 90 происшествий, и на авиакомпанию GHI — 180 происшествий.