Страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

РАССУЖДАЕМ (742–743)

742 Среди учащихся школы был проведён опрос на тему «Трудно ли вам учиться?». Опросили мальчиков — учеников 9 класса. Как вы думаете, можно ли считать эту выборку учеников репрезентативной, если нужно:

а) выяснить степень нагрузки в целом по школе;

б) получить данные по 9 классу?

Для того чтобы выборка была репрезентативной, она должна правильно отражать характеристики всей совокупности, которую мы изучаем (генеральной совокупности). В данном случае опрос проводился только среди мальчиков 9 класса.

а) выяснить степень нагрузки в целом по школе;

Генеральной совокупностью здесь являются все учащиеся школы. Выборка, состоящая только из мальчиков 9 класса, не может считаться репрезентативной по двум основным причинам:

1. Возрастной признак: Учебная нагрузка в 9 классе, который является выпускным в основной школе и предполагает подготовку к экзаменам (ОГЭ), скорее всего, отличается от нагрузки в начальной школе, средних классах (5-8) и старших классах (10-11). Мнение только девятиклассников не отражает ситуацию во всей школе.

2. Половой признак: В опросе участвовали только мальчики. Восприятие учебной нагрузки, интересы к разным предметам и отношение к учебе могут различаться у мальчиков и девочек. Исключив из опроса девочек, мы теряем информацию о существенной части генеральной совокупности.

Таким образом, результаты такого опроса будут смещенными и не позволят сделать объективный вывод о степени нагрузки в целом по школе.

Ответ: Нет, эту выборку нельзя считать репрезентативной для выяснения степени нагрузки в целом по школе.

б) получить данные по 9 классу?

В этом случае генеральной совокупностью являются все учащиеся 9 класса, то есть и мальчики, и девочки.

Выборка, состоящая только из мальчиков 9 класса, по-прежнему не является репрезентативной, хотя и в меньшей степени, чем в предыдущем пункте. Она нерепрезентативна по половому признаку. Результаты такого опроса покажут мнение только мальчиков-девятиклассников, но их нельзя будет автоматически распространить на всех учеников 9 класса, так как мнение девочек может отличаться.

Чтобы получить репрезентативные данные по всему 9 классу, необходимо было бы опросить и мальчиков, и девочек.

Ответ: Нет, эту выборку нельзя считать репрезентативной для получения данных по всему 9 классу, так как она не учитывает мнение девочек.

743 Определите, является ли репрезентативной выборка:

а) число автомобильных аварий в июне, если необходимо составить статистический отчёт по авариям в городе за год;

б) городские жители, если нужно выяснить число автомобилей на душу населения в стране;

в) люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении рейтинга молодёжной телепрограммы.

Для определения, является ли выборка репрезентативной, необходимо оценить, насколько хорошо она отражает характеристики всей генеральной совокупности, из которой она взята. Репрезентативная выборка — это та, которая не имеет систематических смещений и правильно представляет всю совокупность в миниатюре.

а) число автомобильных аварий в июне, если необходимо составить статистический отчет по авариям в городе за год;

Генеральной совокупностью здесь являются все автомобильные аварии, произошедшие в городе за год. Выборка — это аварии, случившиеся только в июне. Данная выборка не является репрезентативной, так как количество аварий может сильно зависеть от времени года. Например, зимой количество аварий может быть выше из-за плохих погодных условий (снег, гололед), а летом дорожные условия лучше, но может измениться интенсивность движения из-за сезона отпусков. Таким образом, данные за один месяц (июнь) не могут адекватно отражать ситуацию за весь год, поскольку выборка имеет систематическое смещение, связанное с сезонностью.

Ответ: нет, выборка не является репрезентативной.

б) городские жители, если нужно выяснить число автомобилей на душу населения в стране;

Генеральная совокупность — все жители страны, как городские, так и сельские. Выборка — только городские жители. Эта выборка не является репрезентативной. Уровень автомобилизации и потребность в личном транспорте у городских и сельских жителей могут существенно различаться. В городах, как правило, лучше развит общественный транспорт, что снижает потребность в личном авто. В сельской местности автомобиль часто является необходимостью из-за больших расстояний. Исключив из опроса сельских жителей, мы получим искаженные данные, которые не будут отражать реальное среднее число автомобилей на душу населения по всей стране.

Ответ: нет, выборка не является репрезентативной.

в) люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении рейтинга молодежной телепрограммы.

Генеральная совокупность — это аудитория, чье мнение о молодежной телепрограмме нас интересует, то есть в первую очередь ее целевая аудитория — молодежь. Выборка — люди в возрасте от 40 до 50 лет. Эта выборка очевидно не является репрезентативной. Интересы, вкусы и предпочтения людей в возрасте от 40 до 50 лет значительно отличаются от интересов молодежи. Эта возрастная группа, скорее всего, либо не смотрит такие программы, либо оценивает их по совершенно другим критериям, чем целевая аудитория. Результаты опроса такой группы не дадут адекватного представления о популярности программы. Выборка имеет сильное смещение по возрасту.

Ответ: нет, выборка не является репрезентативной.

744 Фирма «Бурёнка и компания» производит и продаёт молоко разной жирности. Объёмы продаж за месяц сведены в диаграмме на рисунке 5.4.

а) Определите наиболее популярный сорт молока.

б) Какой процент проданного молока составляет полностью обезжиренное?

Объём продаж, $\text{%}$

Жирность молока, $\text{%}$

$30$

$25$

$20$

$15$

$10$

$5$

$0,0$

$0,5$

$1,0$

$1,5$

$2,5$

$3,5$

$5,0$

Рис. 5.4

в) Считая, что всего было продано 40 000 литров молока, составьте таблицу частот.

г) Определите средний процент жирности молока.

а) Чтобы определить наиболее популярный сорт молока, необходимо найти на диаграмме столбец с наибольшей высотой, так как он соответствует наибольшему объёму продаж. Самый высокий столбец на диаграмме достигает отметки 30% и соответствует молоку с жирностью 3,5%.

Ответ: Наиболее популярным является молоко с жирностью 3,5%.

б) Полностью обезжиренное молоко — это молоко с жирностью 0,0%. На диаграмме столбец, соответствующий жирности 0,0% на горизонтальной оси, показывает объём продаж в 10% на вертикальной оси.

Ответ: 10%.

в) Для составления таблицы частот необходимо рассчитать, какой объём в литрах соответствует каждому проценту продаж, исходя из общего объёма в 40 000 литров. Расчет для каждого сорта молока производится по формуле: $V_{\text{сорта}} = (\frac{P_{\text{сорта}}}{100}) \times V_{\text{общий}}$, где $P$ - процент продаж, а $V$ - объём.

• Жирность 0,0%: $0,10 \times 40000 = 4000$ л
• Жирность 0,5%: $0,05 \times 40000 = 2000$ л
• Жирность 1,0%: $0,05 \times 40000 = 2000$ л
• Жирность 1,5%: $0,15 \times 40000 = 6000$ л
• Жирность 2,5%: $0,20 \times 40000 = 8000$ л
• Жирность 3,5%: $0,30 \times 40000 = 12000$ л
• Жирность 5,0%: $0,15 \times 40000 = 6000$ л

Итоговая таблица частот:

Ответ: Таблица частот представлена выше.

г) Средний процент жирности молока — это среднее взвешенное значение. В данном случае значения — это проценты жирности ($x_i$), а веса — их доли в общем объёме продаж ($p_i$). Средний процент жирности ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:

Сумма всех процентов продаж ($\sum p_i$) равна 100. Подставим значения из диаграммы в формулу:

Таким образом, средний процент жирности проданного молока составляет 2,6%.

Ответ: 2,6%.