Номер 754, страница 307 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 754, страница 307.

754 Жалобы на опоздания электричек, поступившие в диспетчерскую станцию Семафорово в течение недели, позволили составить диаграмму частот по опозданиям за неделю (рис. 5.9). Определите среднее число опозданий за неделю и стандартное отклонение.

Число опозданий:

Пн: 2

Вт: 3

Ср: 4

Чт: 5

Пт: 4

Сб: 2

Вс: 1

Рис. 5.9

Среднее число опозданий за неделю

Для решения задачи сначала определим количество опозданий за каждый день недели, используя данные с диаграммы частот (рис. 5.9):
Понедельник (Пн): 2
Вторник (Вт): 3
Среда (Ср): 4
Четверг (Чт): 5
Пятница (Пт): 4
Суббота (Сб): 2
Воскресенье (Вс): 1
Таким образом, мы имеем набор данных: {2, 3, 4, 5, 4, 2, 1}. Общее число наблюдений (дней в неделе) $n = 7$.

Среднее число опозданий за неделю ($\bar{x}$) вычисляется как среднее арифметическое, то есть сумма всех значений, деленная на их количество.
Формула для среднего значения: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

Найдем общую сумму опозданий за неделю:
$\sum x_i = 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 1 = 21$.

Теперь разделим полученную сумму на количество дней в неделе:
$\bar{x} = \frac{21}{7} = 3$.
Следовательно, среднее число опозданий за неделю составляет 3.
Ответ: 3.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение ($\sigma$) является мерой разброса значений в наборе данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии (среднего квадрата отклонений).
Формула для стандартного отклонения: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$.

Мы уже знаем среднее значение $\bar{x} = 3$. Теперь для каждого значения из набора данных найдем квадрат разности между этим значением и средним (квадрат отклонения):
Для $x_1 = 2$: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$
Для $x_2 = 3$: $(3 - 3)^2 = 0^2 = 0$
Для $x_3 = 4$: $(4 - 3)^2 = 1^2 = 1$
Для $x_4 = 5$: $(5 - 3)^2 = 2^2 = 4$
Для $x_5 = 4$: $(4 - 3)^2 = 1^2 = 1$
Для $x_6 = 2$: $(2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1$
Для $x_7 = 1$: $(1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$

Найдем сумму этих квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

Теперь вычислим дисперсию ($\sigma^2$), которая равна среднему значению квадратов отклонений:
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{12}{7}$.

Наконец, вычислим стандартное отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{12}{7}} \approx 1.3093...$
Округляя результат до сотых, получаем $\sigma \approx 1.31$.
Ответ: $\sqrt{\frac{12}{7}} \approx 1.31$.