Номер 758, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 758, страница 309.

758 РАССУЖДАЕМ Что можно сказать о ряде чисел, в котором:

а) размах равен $0$;

б) дисперсия равна $0$?

а) размах равен 0;

Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Обозначим ряд чисел как $x_1, x_2, \dots, x_n$. Пусть $x_{max}$ — наибольшее значение в ряду, а $x_{min}$ — наименьшее значение.

Формула для размаха $R$ выглядит так:

$R = x_{max} - x_{min}$

Согласно условию, размах равен 0:

$R = x_{max} - x_{min} = 0$

Из этого уравнения следует, что $x_{max} = x_{min}$.

Поскольку все числа в ряду находятся между наименьшим и наибольшим значениями (включая их), то есть для любого числа $x_i$ из ряда выполняется неравенство $x_{min} \le x_i \le x_{max}$, а у нас $x_{min} = x_{max}$, то это означает, что все числа в ряду равны между собой. Например, если $x_{min} = x_{max} = c$, то для любого $x_i$ будет верно $c \le x_i \le c$, что возможно только если $x_i = c$.

Ответ: если размах ряда чисел равен 0, то все числа в этом ряду одинаковы.

б) дисперсия равна 0?

Дисперсия — это мера разброса данных в ряду. Она представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, а их среднее арифметическое равно $\bar{x}$.

Среднее арифметическое вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Дисперсия $D$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

По условию, дисперсия равна 0:

$D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Каждое слагаемое в сумме, $(x_i - \bar{x})^2$, является квадратом действительного числа, а значит, оно неотрицательно (больше или равно нулю). Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

Следовательно, для каждого $i$ от 1 до $n$ должно выполняться равенство:

$(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Это означает, что $x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$ для всех $i$.

Таким образом, каждое число в ряду равно среднему арифметическому этого ряда. Это возможно только тогда, когда все числа в ряду равны между собой.

Ответ: если дисперсия ряда чисел равна 0, то все числа в этом ряду одинаковы.