Номер 759, страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.3. Характеристики разброса. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 759, страница 309.

759 Доказываем. Докажите следующие утверждения:

a) В любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна нулю.

б) Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть имеется ряд данных x ₁ , x ₂ , ..., x _n , состоящий из n элементов.

Среднее арифметическое этого ряда, обозначаемое как $\bar{x}$ , вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Отклонением каждого элемента данных от среднего арифметического называется разность $(x_i - \bar{x})$ . Нам нужно доказать, что сумма всех таких отклонений равна нулю, то есть $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$ .

Рассмотрим сумму отклонений:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x})$
Сгруппируем слагаемые:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (\bar{x} + \bar{x} + \ldots + \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x}$
Из формулы для среднего арифметического мы знаем, что $n \cdot \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i$ .
Подставим это выражение в нашу сумму:
$\sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$
Таким образом, сумма отклонений данных от их среднего арифметического действительно равна нулю.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть исходный ряд данных x ₁ , x ₂ , ..., x _n имеет среднее арифметическое $\bar{x}$ и дисперсию $D_x$ .
Дисперсия по определению — это средний квадрат отклонений от среднего арифметического:
$D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Увеличим каждое число исходного ряда на одно и то же число c . Получим новый ряд данных y ₁ , y ₂ , ..., y _n , где каждый элемент $y_i = x_i + c$ .

Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$ :
$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i + c)}{n} = \frac{(x_1+c) + (x_2+c) + \ldots + (x_n+c)}{n}$
$\bar{y} = \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i) + n \cdot c}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + \frac{n \cdot c}{n} = \bar{x} + c$
Как видим, новое среднее арифметическое равно старому, увеличенному на ту же константу c .

Теперь найдем дисперсию нового ряда $D_y$ :
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n}$
Подставим в эту формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$ :
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} ((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2}{n}$
Упростим выражение в скобках:
$(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i + c - \bar{x} - c = x_i - \bar{x}$
Тогда формула для новой дисперсии принимает вид:
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
Это выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$ . Следовательно, $D_y = D_x$ .
Таким образом, при увеличении каждого числа ряда на одну и ту же величину, дисперсия ряда не изменяется.
Ответ: Утверждение доказано.