Страница 309 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

758 РАССУЖДАЕМ Что можно сказать о ряде чисел, в котором:

а) размах равен $0$;

б) дисперсия равна $0$?

а) размах равен 0;

Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Обозначим ряд чисел как $x_1, x_2, \dots, x_n$. Пусть $x_{max}$ — наибольшее значение в ряду, а $x_{min}$ — наименьшее значение.

Формула для размаха $R$ выглядит так:

$R = x_{max} - x_{min}$

Согласно условию, размах равен 0:

$R = x_{max} - x_{min} = 0$

Из этого уравнения следует, что $x_{max} = x_{min}$.

Поскольку все числа в ряду находятся между наименьшим и наибольшим значениями (включая их), то есть для любого числа $x_i$ из ряда выполняется неравенство $x_{min} \le x_i \le x_{max}$, а у нас $x_{min} = x_{max}$, то это означает, что все числа в ряду равны между собой. Например, если $x_{min} = x_{max} = c$, то для любого $x_i$ будет верно $c \le x_i \le c$, что возможно только если $x_i = c$.

Ответ: если размах ряда чисел равен 0, то все числа в этом ряду одинаковы.

б) дисперсия равна 0?

Дисперсия — это мера разброса данных в ряду. Она представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений значений ряда от их среднего арифметического. Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, а их среднее арифметическое равно $\bar{x}$.

Среднее арифметическое вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Дисперсия $D$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

По условию, дисперсия равна 0:

$D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Каждое слагаемое в сумме, $(x_i - \bar{x})^2$, является квадратом действительного числа, а значит, оно неотрицательно (больше или равно нулю). Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю.

Следовательно, для каждого $i$ от 1 до $n$ должно выполняться равенство:

$(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Это означает, что $x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$ для всех $i$.

Таким образом, каждое число в ряду равно среднему арифметическому этого ряда. Это возможно только тогда, когда все числа в ряду равны между собой.

Ответ: если дисперсия ряда чисел равна 0, то все числа в этом ряду одинаковы.

759 Доказываем. Докажите следующие утверждения:

a) В любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна нулю.

б) Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть имеется ряд данных x ₁ , x ₂ , ..., x _n , состоящий из n элементов.

Среднее арифметическое этого ряда, обозначаемое как $\bar{x}$ , вычисляется по формуле:
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Отклонением каждого элемента данных от среднего арифметического называется разность $(x_i - \bar{x})$ . Нам нужно доказать, что сумма всех таких отклонений равна нулю, то есть $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$ .

Рассмотрим сумму отклонений:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x})$
Сгруппируем слагаемые:
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (\bar{x} + \bar{x} + \ldots + \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x}$
Из формулы для среднего арифметического мы знаем, что $n \cdot \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i$ .
Подставим это выражение в нашу сумму:
$\sum_{i=1}^{n} x_i - n \cdot \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$
Таким образом, сумма отклонений данных от их среднего арифметического действительно равна нулю.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть исходный ряд данных x ₁ , x ₂ , ..., x _n имеет среднее арифметическое $\bar{x}$ и дисперсию $D_x$ .
Дисперсия по определению — это средний квадрат отклонений от среднего арифметического:
$D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Увеличим каждое число исходного ряда на одно и то же число c . Получим новый ряд данных y ₁ , y ₂ , ..., y _n , где каждый элемент $y_i = x_i + c$ .

Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$ :
$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i + c)}{n} = \frac{(x_1+c) + (x_2+c) + \ldots + (x_n+c)}{n}$
$\bar{y} = \frac{(\sum_{i=1}^{n} x_i) + n \cdot c}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} + \frac{n \cdot c}{n} = \bar{x} + c$
Как видим, новое среднее арифметическое равно старому, увеличенному на ту же константу c .

Теперь найдем дисперсию нового ряда $D_y$ :
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n}$
Подставим в эту формулу выражения для $y_i$ и $\bar{y}$ :
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} ((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2}{n}$
Упростим выражение в скобках:
$(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i + c - \bar{x} - c = x_i - \bar{x}$
Тогда формула для новой дисперсии принимает вид:
$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
Это выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$ . Следовательно, $D_y = D_x$ .
Таким образом, при увеличении каждого числа ряда на одну и ту же величину, дисперсия ряда не изменяется.
Ответ: Утверждение доказано.

760 Исследуем

1) Дан ряд чисел: $x_1, x_2, ..., x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$. Каждое число ряда увеличили в 10 раз. Как изменится его среднее арифметическое? Что произойдёт с размахом? с дисперсией? со стандартным отклонением?

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то...»

3) Ответьте на вопрос задачи, используя утверждения из пункта 2:

Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; ..., а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; ... . Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 16 и 4. Какие результаты получила Оля?

1)

Пусть исходный ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$.

Среднее арифметическое исходного ряда: $a = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.
После увеличения каждого числа в 10 раз, получим новый ряд: $10x_1, 10x_2, ..., 10x_n$.
Новое среднее арифметическое: $a_{new} = \frac{10x_1 + 10x_2 + ... + 10x_n}{n} = \frac{10(x_1 + x_2 + ... + x_n)}{n} = 10 \cdot a$.
Таким образом, среднее арифметическое увеличится в 10 раз.

Размах ряда – это разность между максимальным и минимальным значениями. Пусть $x_{max}$ и $x_{min}$ – максимальное и минимальное значения исходного ряда. Размах $R = x_{max} - x_{min}$.
В новом ряду максимальным значением будет $10x_{max}$, а минимальным – $10x_{min}$.
Новый размах: $R_{new} = 10x_{max} - 10x_{min} = 10(x_{max} - x_{min}) = 10R$.
Размах ряда увеличится в 10 раз.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений от среднего значения: $D = \frac{(x_1-a)^2 + (x_2-a)^2 + ... + (x_n-a)^2}{n}$.
Для нового ряда чисел и нового среднего значения $10a$ дисперсия будет:
$D_{new} = \frac{(10x_1-10a)^2 + (10x_2-10a)^2 + ... + (10x_n-10a)^2}{n} = \frac{10^2(x_1-a)^2 + 10^2(x_2-a)^2 + ... + 10^2(x_n-a)^2}{n}$
$D_{new} = \frac{100 \cdot ((x_1-a)^2 + (x_2-a)^2 + ... + (x_n-a)^2)}{n} = 100 \cdot D$.
Дисперсия увеличится в $10^2 = 100$ раз.

Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии: $\sigma = \sqrt{D}$.
Новое стандартное отклонение: $\sigma_{new} = \sqrt{D_{new}} = \sqrt{100D} = 10\sqrt{D} = 10\sigma$.
Стандартное отклонение увеличится в 10 раз.

Ответ: Среднее арифметическое, размах и стандартное отклонение увеличатся в 10 раз, а дисперсия увеличится в 100 раз.

2)

«Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то ...»

Проводя аналогичные рассуждения, как в пункте 1, заменяя множитель 10 на $k$, получаем:

• новое среднее арифметическое будет равно $k \cdot a$;
• новый размах будет равен $|k| \cdot R$;
• новая дисперсия будет равна $k^2 \cdot D$;
• новое стандартное отклонение будет равно $|k| \cdot \sigma$.

Ответ: ...его среднее арифметическое умножится на $k$, размах и стандартное отклонение умножатся на $|k|$, а дисперсия умножится на $k^2$.

3)

Коля записывал рост в сантиметрах, а Оля — в метрах. Поскольку 1 м = 100 см, каждое число в ряду Оли в 100 раз меньше соответствующего числа в ряду Коли. Это эквивалентно умножению каждого числа из ряда Коли на коэффициент $k = \frac{1}{100} = 0.01$.

У Коли получились следующие результаты:

• Средний рост (среднее арифметическое): $a_К = 172$ см
• Дисперсия: $D_К = 16$ см$^2$
• Стандартное отклонение: $\sigma_К = 4$ см

Используя правило из пункта 2, найдем результаты Оли:

Средний рост Оли: $a_О = a_К \cdot k = 172 \cdot 0.01 = 1.72$ м.
Дисперсия Оли: $D_О = D_К \cdot k^2 = 16 \cdot (0.01)^2 = 16 \cdot 0.0001 = 0.0016$ м$^2$.
Стандартное отклонение Оли: $\sigma_О = \sigma_К \cdot |k| = 4 \cdot |0.01| = 0.04$ м.

Ответ: Оля получила средний рост 1,72 м, дисперсию 0,0016 м$^2$ и стандартное отклонение 0,04 м.