Страница 308 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

755 В таблице указано число книг, прочитанных несколькими ребятами за летние каникулы. Для данного ряда вычислите среднее арифметическое и стандартное отклонение. Назовите имена тех ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение.

Имя: Аня, Витя, Игорь, Оля, Петя, Катя, Лена, Саша

Число книг: 8, 10, 6, 1, 0, 7, 5, 3

Для решения задачи необходимо выполнить три последовательных шага: вычислить среднее арифметическое, затем стандартное отклонение и, наконец, сравнить отклонения для каждого ученика со стандартным отклонением.

1. Вычисление среднего арифметического

Исходный ряд данных, представляющий количество прочитанных книг: 8, 10, 6, 1, 0, 7, 5, 3.
Общее количество данных в ряду (число ребят) $n = 8$.
Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Формула:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
Найдем сумму всех значений в ряду:
$\sum x_i = 8 + 10 + 6 + 1 + 0 + 7 + 5 + 3 = 40$
Теперь рассчитаем среднее арифметическое:
$\bar{x} = \frac{40}{8} = 5$

Ответ: Среднее арифметическое количества прочитанных книг равно 5.

2. Вычисление стандартного отклонения

Стандартное отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии ($D$). Дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения от среднего арифметического.
Формула для дисперсии:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$
Зная, что среднее $\bar{x} = 5$, вычислим квадраты отклонений для каждого значения:
$(8 - 5)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 5)^2 = 5^2 = 25$
$(6 - 5)^2 = 1^2 = 1$
$(1 - 5)^2 = (-4)^2 = 16$
$(0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$
$(7 - 5)^2 = 2^2 = 4$
$(5 - 5)^2 = 0^2 = 0$
$(3 - 5)^2 = (-2)^2 = 4$
Найдем сумму этих квадратов отклонений:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 9 + 25 + 1 + 16 + 25 + 4 + 0 + 4 = 84$
Вычислим дисперсию:
$D = \frac{84}{8} = 10.5$
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{10.5} \approx 3.24$

Ответ: Стандартное отклонение равно $\sqrt{10.5}$.

3. Имена ребят, для которых модуль разности превышает стандартное отклонение

Нам необходимо найти ребят, для которых выполняется условие $|x_i - \bar{x}| > \sigma$.
Подставим известные значения: $\bar{x} = 5$ и $\sigma = \sqrt{10.5}$. Условие принимает вид: $|x_i - 5| > \sqrt{10.5}$.
Чтобы упростить сравнение, можно возвести обе части неравенства в квадрат: $(x_i - 5)^2 > 10.5$. Мы уже рассчитали значения $(x_i - 5)^2$ на предыдущем шаге.
Проверим это условие для каждого из ребят:
Аня: $(8 - 5)^2 = 9$. Так как $9 < 10.5$, условие не выполняется.
Витя: $(10 - 5)^2 = 25$. Так как $25 > 10.5$, условие выполняется.
Игорь: $(6 - 5)^2 = 1$. Так как $1 < 10.5$, условие не выполняется.
Оля: $(1 - 5)^2 = 16$. Так как $16 > 10.5$, условие выполняется.
Петя: $(0 - 5)^2 = 25$. Так как $25 > 10.5$, условие выполняется.
Катя: $(7 - 5)^2 = 4$. Так как $4 < 10.5$, условие не выполняется.
Лена: $(5 - 5)^2 = 0$. Так как $0 < 10.5$, условие не выполняется.
Саша: $(3 - 5)^2 = 4$. Так как $4 < 10.5$, условие не выполняется.

Ответ: Имена ребят, для которых модуль разности между количеством прочитанных ими книг и средним арифметическим превышает стандартное отклонение: Витя, Оля, Петя.

756 АНАЛИЗИРУЕМ

Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см.

Есть две группы призывников, рост которых равен:

первая группа — 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см;

вторая группа — 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.

Сколько призывников из каждой группы подходит для службы в Президентском полку? Сравните эти группы, вычислив для каждой стандартное отклонение.

В задаче требуется сначала определить количество призывников из каждой группы, подходящих по росту для службы в Президентском полку, а затем сравнить эти группы, вычислив стандартное отклонение.

1. Отбор призывников по росту.

Условие отбора: рост призывника должен быть не менее 175 см и не более 190 см. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $175 \le рост \le 190$.

первая группа

Состав группы по росту: 165 см, 170 см, 173 см, 182 см, 195 см.
Проверим соответствие каждого призывника условию:

• 165 см: не подходит, так как $165 < 175$.
• 170 см: не подходит, так как $170 < 175$.
• 173 см: не подходит, так как $173 < 175$.
• 182 см: подходит, так как $175 \le 182 \le 190$.
• 195 см: не подходит, так как $195 > 190$.

Таким образом, из первой группы подходит только один призывник.

вторая группа

Состав группы по росту: 166 см, 175 см, 175 см, 176 см, 178 см.
Проверим соответствие каждого призывника условию:

• 166 см: не подходит, так как $166 < 175$.
• 175 см: подходит, так как $175 \le 175 \le 190$.
• 175 см: подходит, так как $175 \le 175 \le 190$.
• 176 см: подходит, так как $175 \le 176 \le 190$.
• 178 см: подходит, так как $175 \le 178 \le 190$.

Таким образом, из второй группы подходят четыре призывника.

Ответ: Из первой группы для службы в Президентском полку подходит 1 призывник, а из второй группы — 4 призывника.

2. Вычисление стандартного отклонения и сравнение групп.

Стандартное отклонение ($\sigma$) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Формула для вычисления стандартного отклонения:$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$где $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение, $x_i$ — каждый элемент выборки, $n$ — количество элементов в выборке.

первая группа

Данные: {165, 170, 173, 182, 195}.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}_1$):
   $\bar{x}_1 = \frac{165 + 170 + 173 + 182 + 195}{5} = \frac{885}{5} = 177$ см.
2. Находим сумму квадратов отклонений от среднего:
   $\sum(x_i - \bar{x}_1)^2 = (165 - 177)^2 + (170 - 177)^2 + (173 - 177)^2 + (182 - 177)^2 + (195 - 177)^2$
   $= (-12)^2 + (-7)^2 + (-4)^2 + 5^2 + 18^2 = 144 + 49 + 16 + 25 + 324 = 558$.
3. Вычисляем дисперсию ($D_1$):
   $D_1 = \frac{558}{5} = 111.6$.
4. Вычисляем стандартное отклонение ($\sigma_1$):
   $\sigma_1 = \sqrt{111.6} \approx 10.56$ см.

вторая группа

Данные: {166, 175, 175, 176, 178}.

1. Находим среднее арифметическое ($\bar{x}_2$):
   $\bar{x}_2 = \frac{166 + 175 + 175 + 176 + 178}{5} = \frac{870}{5} = 174$ см.
2. Находим сумму квадратов отклонений от среднего:
   $\sum(x_i - \bar{x}_2)^2 = (166 - 174)^2 + (175 - 174)^2 + (175 - 174)^2 + (176 - 174)^2 + (178 - 174)^2$
   $= (-8)^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 4^2 = 64 + 1 + 1 + 4 + 16 = 86$.
3. Вычисляем дисперсию ($D_2$):
   $D_2 = \frac{86}{5} = 17.2$.
4. Вычисляем стандартное отклонение ($\sigma_2$):
   $\sigma_2 = \sqrt{17.2} \approx 4.15$ см.

Сравнение групп: Стандартное отклонение первой группы ($\sigma_1 \approx 10.56$ см) более чем в два раза превышает стандартное отклонение второй группы ($\sigma_2 \approx 4.15$ см). Это указывает на то, что рост призывников во второй группе более стабилен и сгруппирован вокруг среднего значения, в то время как в первой группе наблюдается значительно больший разброс значений роста.

Ответ: Стандартное отклонение для первой группы составляет $\sigma_1 \approx 10.56$ см, для второй группы — $\sigma_2 \approx 4.15$ см. Вторая группа является более однородной по росту, так как её стандартное отклонение меньше.

757 На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длины каждого. Ниже представлены полученные величины (в см):

20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.

а) Определите среднюю длину кирпича.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

В задаче дана выборка из 20 измерений длины кирпичей (в см):

20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.

Общее количество измерений $n=20$.

а) Определите среднюю длину кирпича.

Средняя длина (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

Сначала найдем сумму всех измеренных длин:

$\sum x_i = 20,5 + 20,1 + 21,3 + 20,3 + 19,8 + 19,2 + 20,1 + 19,6 + 20,2 + 20 + 20,5 + 19,7 + 19,9 + 20,5 + 19,6 + 20,1 + 19,4 + 19,8 + 19,1 + 20,3 = 400$

Теперь разделим сумму на количество измерений:

$\bar{x} = \frac{400}{20} = 20$ см.

Ответ: средняя длина кирпича составляет 20 см.

б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.

Стандартное отклонение ($\sigma$) является квадратным корнем из дисперсии ($\sigma^2$). Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего значения.

Формула дисперсии:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$

Мы уже знаем, что средняя длина $\bar{x} = 20$ см. Рассчитаем квадраты отклонений для каждого значения:

$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(21,3 - 20)^2 = 1,3^2 = 1,69$
$(20,3 - 20)^2 = 0,3^2 = 0,09$
$(19,8 - 20)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$
$(19,2 - 20)^2 = (-0,8)^2 = 0,64$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(19,6 - 20)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
$(20,2 - 20)^2 = 0,2^2 = 0,04$
$(20 - 20)^2 = 0^2 = 0$
$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(19,7 - 20)^2 = (-0,3)^2 = 0,09$
$(19,9 - 20)^2 = (-0,1)^2 = 0,01$
$(20,5 - 20)^2 = 0,5^2 = 0,25$
$(19,6 - 20)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
$(20,1 - 20)^2 = 0,1^2 = 0,01$
$(19,4 - 20)^2 = (-0,6)^2 = 0,36$
$(19,8 - 20)^2 = (-0,2)^2 = 0,04$
$(19,1 - 20)^2 = (-0,9)^2 = 0,81$
$(20,3 - 20)^2 = 0,3^2 = 0,09$

Теперь найдем сумму этих квадратов:

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 0,25 + 0,01 + 1,69 + 0,09 + 0,04 + 0,64 + 0,01 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0,25 + 0,09 + 0,01 + 0,25 + 0,16 + 0,01 + 0,36 + 0,04 + 0,81 + 0,09 = 5$

Вычислим дисперсию:

$\sigma^2 = \frac{5}{20} = 0,25$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5$ см.

Ответ: величина стандартного отклонения составляет 0,5 см.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

Этот вопрос состоит из двух частей.

1. Процент кирпичей, длина которых отличается от средней ($\bar{x}=20$ см) больше чем на 0,2 см.

Нам нужно найти количество кирпичей, для которых выполняется условие $|x_i - 20| > 0,2$. Это эквивалентно $x_i < 19,8$ см или $x_i > 20,2$ см.

Найдем такие значения в исходных данных:

Значения, которые больше 20,2: 20,5; 21,3; 20,3; 20,5; 20,5; 20,3 (всего 6 значений).
Значения, которые меньше 19,8: 19,2; 19,6; 19,7; 19,6; 19,4; 19,1 (всего 6 значений).

Общее количество таких кирпичей: $6 + 6 = 12$.

Всего в выборке 20 кирпичей. Найдем процент:

$\frac{12}{20} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\%$

2. Процент кирпичей, длина которых отличается от средней ($\bar{x}=20$ см) больше чем на величину стандартного отклонения ($\sigma=0,5$ см).

Нам нужно найти количество кирпичей, для которых выполняется условие $|x_i - 20| > 0,5$. Это эквивалентно $x_i < 19,5$ см или $x_i > 20,5$ см.

Найдем такие значения в исходных данных:

Значения, которые больше 20,5: 21,3 (1 значение).
Значения, которые меньше 19,5: 19,2; 19,4; 19,1 (3 значения).

Общее количество таких кирпичей: $1 + 3 = 4$.

Всего в выборке 20 кирпичей. Найдем процент:

$\frac{4}{20} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: 60% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на 0,2 см; 20% кирпичей имеют длину, отличающуюся от средней более чем на величину стандартного отклонения.