Страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

771 Кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадает одинаковое число очков? разное число очков?

Для решения задачи по теории вероятностей определим общее количество исходов и количество благоприятных исходов для каждого случая.

При броске стандартного шестигранного кубика есть 6 возможных исходов (числа от 1 до 6). Поскольку кубик бросают два раза и результаты бросков независимы, общее количество всех возможных пар результатов $N$ можно найти, перемножив количество исходов для каждого броска:

$N = 6 \times 6 = 36$

Все 36 исходов равновероятны.

оба раза выпадет одинаковое число очков

Благоприятными исходами для этого события являются те, в которых число очков на первом и втором кубике совпадает. Перечислим эти исходы: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).

Всего таких исходов 6. Обозначим количество благоприятных исходов как $m$. Таким образом, $m = 6$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

разное число очков

Событие "выпадет разное число очков" является противоположным (дополнительным) событию "выпадет одинаковое число очков". Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.

Пусть $P(A)$ — вероятность того, что выпадет одинаковое число очков, а $P(\bar{A})$ — вероятность того, что выпадет разное число очков. Тогда:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $P(A) = \frac{1}{6}$. Следовательно:

$P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Альтернативный способ:
Можно также найти количество благоприятных исходов напрямую. Если всего существует 36 возможных исходов, и 6 из них — это исходы с одинаковым числом очков, то количество исходов с разным числом очков $m'$ будет:

$m' = N - m = 36 - 6 = 30$

Тогда вероятность этого события равна:

$P = \frac{m'}{N} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

772 Одновременно бросают 2 кубика: белый и чёрный.

a) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, больше числа, выпавшего на чёрном кубике?

в) Какова вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике, не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике?

а) В эксперименте бросают два игральных кубика: белый и чёрный. На каждом кубике может выпасть одно из шести чисел (от 1 до 6). Поскольку результаты бросков независимы, а кубики различимы, общее количество возможных исходов можно найти по правилу умножения в комбинаторике. Для белого кубика есть 6 возможных исходов, и для каждого из них существует 6 возможных исходов для чёрного кубика.
Таким образом, общее число исходов равно:
$N = 6 \times 6 = 36$
Ответ: 36

б) Найдём вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике (пусть это будет $W$), больше числа, выпавшего на чёрном кубике (пусть это будет $B$). Нам нужно найти вероятность события $W > B$.
Общее число всех возможных исходов, как мы нашли в пункте а), равно $N = 36$.
Теперь посчитаем количество благоприятных исходов ($m$), то есть таких пар $(W, B)$, для которых выполняется условие $W > B$:
- Если на чёрном кубике выпало 1 ($B=1$), то на белом могут выпасть числа 2, 3, 4, 5, 6 (5 исходов).
- Если $B=2$, то $W$ может быть 3, 4, 5, 6 (4 исхода).
- Если $B=3$, то $W$ может быть 4, 5, 6 (3 исхода).
- Если $B=4$, то $W$ может быть 5, 6 (2 исхода).
- Если $B=5$, то $W$ может быть 6 (1 исход).
- Если $B=6$, то подходящих значений для $W$ нет (0 исходов).
Суммарное число благоприятных исходов:
$m = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15$
Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{N}$:
$P(W > B) = \frac{15}{36}$
Сокращаем дробь на 3:
$P(W > B) = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Найдём вероятность того, что число, выпавшее на белом кубике ($W$), не превосходит числа, выпавшего на чёрном кубике ($B$). Фраза "не превосходит" означает "меньше или равно", то есть нам нужно найти вероятность события $W \le B$.
Событие $W \le B$ является противоположным (дополнительным) событию $W > B$, которое мы рассматривали в пункте б). Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.
$P(W \le B) + P(W > B) = 1$
Отсюда мы можем найти искомую вероятность:
$P(W \le B) = 1 - P(W > B)$
Из пункта б) мы знаем, что $P(W > B) = \frac{15}{36}$.
$P(W \le B) = 1 - \frac{15}{36} = \frac{36}{36} - \frac{15}{36} = \frac{21}{36}$
Сокращаем полученную дробь на 3:
$P(W \le B) = \frac{7}{12}$
Ответ: $\frac{7}{12}$

773 Одновременно бросают 3 монеты.

а) Сколько возможных исходов у этого эксперимента?

б) С какой вероятностью все монеты выпадут на одну сторону?

в) С какой вероятностью выпадет один или два орла?

а) У каждой монеты есть два возможных исхода: орел (О) или решка (Р). Поскольку бросают 3 монеты, общее количество возможных исходов ($N$) находится по правилу умножения: для каждой монеты есть 2 варианта, и они независимы.
Следовательно, общее число исходов равно $N = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$.
Вот все возможные комбинации:
1. Орел, Орел, Орел (ООО)
2. Орел, Орел, Решка (ООР)
3. Орел, Решка, Орел (ОРО)
4. Решка, Орел, Орел (РОО)
5. Орел, Решка, Решка (ОРР)
6. Решка, Орел, Решка (РОР)
7. Решка, Решка, Орел (РРО)
8. Решка, Решка, Решка (РРР)
Ответ: 8.

б) Вероятность события вычисляется по формуле $P = m/n$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.
Общее число исходов $n = 8$.
Событие «все монеты выпадут на одну сторону» означает, что выпадет либо комбинация (О, О, О), либо (Р, Р, Р).
Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события: $P = 2/8 = 1/4$.
Ответ: $1/4$.

в) Найдем вероятность события «выпадет один или два орла».
Общее число исходов $n = 8$.
Подсчитаем количество благоприятных исходов ($m$).
Случаи, когда выпадает ровно один орел:
(О, Р, Р), (Р, О, Р), (Р, Р, О) — всего 3 исхода.
Случаи, когда выпадает ровно два орла:
(О, О, Р), (О, Р, О), (Р, О, О) — всего 3 исхода.
Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме этих исходов: $m = 3 + 3 = 6$.
Вероятность этого события: $P = m/n = 6/8 = 3/4$.
Ответ: $3/4$.

774 Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета, если выбор осуществляется без возвращения? с возвращением?

В стандартной колоде из 36 карт есть два цвета: красный и черный. Количество карт каждого цвета равно 18 (18 красных и 18 черных). Событие "обе карты одного цвета" означает, что обе вытянутые карты либо красные, либо черные.

Вероятность этого события равна сумме вероятностей двух несовместных событий:
P(обе карты одного цвета) = P(обе карты красные) + P(обе карты черные).

без возвращения?

При выборе без возвращения первая извлеченная карта не возвращается в колоду. Это значит, что для второго выбора в колоде останется 35 карт.

1. Найдем вероятность того, что обе карты окажутся черными.
Вероятность вытянуть первую черную карту из 36 карт (среди которых 18 черных) равна $P_1(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 черных. Вероятность вытянуть вторую черную карту равна $P_2(\text{черная}) = \frac{17}{35}$.
Вероятность того, что обе карты черные, вычисляется как произведение вероятностей этих событий: $P(\text{обе черные}) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

2. Аналогично найдем вероятность того, что обе карты окажутся красными.
Вероятность вытянуть первую красную карту равна $P_1(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 красных. Вероятность вытянуть вторую красную карту равна $P_2(\text{красная}) = \frac{17}{35}$.
Вероятность того, что обе карты красные: $P(\text{обе красные}) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

3. Общая вероятность того, что обе карты будут одного цвета, равна сумме этих вероятностей:
$P(\text{один цвет}) = P(\text{обе черные}) + P(\text{обе красные}) = \frac{17}{70} + \frac{17}{70} = \frac{34}{70} = \frac{17}{35}$.

Ответ: $\frac{17}{35}$

с возвращением?

При выборе с возвращением первая карта после извлечения кладется обратно в колоду. Таким образом, состав колоды перед вторым извлечением не меняется (в ней снова 36 карт), и события являются независимыми.

1. Найдем вероятность того, что обе карты окажутся черными.
Вероятность вытянуть первую черную карту: $P_1(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Так как карта возвращается, вероятность вытянуть вторую черную карту такая же: $P_2(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность того, что обе карты черные: $P(\text{обе черные}) = P_1(\text{черная}) \cdot P_2(\text{черная}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

2. Аналогично найдем вероятность того, что обе карты окажутся красными.
Вероятность вытянуть первую красную карту: $P_1(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность вытянуть вторую красную карту: $P_2(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность того, что обе карты красные: $P(\text{обе красные}) = P_1(\text{красная}) \cdot P_2(\text{красная}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

3. Общая вероятность того, что обе карты будут одного цвета, равна сумме этих вероятностей:
$P(\text{один цвет}) = P(\text{обе черные}) + P(\text{обе красные}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

775 В шкафу находится 3 пары ботинок различных размеров. Из них случайно выбирают 2 ботинка. Найдите вероятность того, что они парные.

Для решения задачи определим общее количество ботинок в шкафу. Поскольку имеется 3 пары, общее число ботинок равно $3 \times 2 = 6$.

Вероятность события находится по классической формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов N.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 ботинка из 6 имеющихся. Так как порядок выбора не важен, используем формулу для числа сочетаний: $N = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ В нашем случае $n=6$ (всего ботинок) и $k=2$ (выбираем ботинка). $N = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$. Таким образом, существует 15 способов выбрать 2 ботинка из 6.

2. Найдем число благоприятных исходов M.

Благоприятный исход — это когда выбранные 2 ботинка составляют пару. Поскольку в шкафу находится 3 пары ботинок, то существует ровно 3 благоприятных исхода (можно выбрать первую пару, вторую или третью). Следовательно, $M = 3$.

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность, подставив значения $M$ и $N$ в формулу: $P = \frac{M}{N} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

776 В номере автомашины содержится три цифры. Какова вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины будет содержать хотя бы одну цифру 3?

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

Трехзначный номер автомашины может состоять из любых трех цифр от 0 до 9. Всего у нас есть 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Сначала найдем общее количество всех возможных трехзначных номеров, которые можно составить. Поскольку каждая из трех позиций в номере может быть занята любой из 10 цифр, общее число комбинаций $N$ равно:

$N = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$

Это все номера от 000 до 999.

Нам нужно найти вероятность события $A$, которое заключается в том, что "номер содержит хотя бы одну цифру 3". Вычислять это напрямую (одна цифра 3, две или три) довольно долго. Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что "номер не содержит ни одной цифры 3".

Для составления номера без цифры 3 мы можем использовать любые цифры, кроме тройки. У нас остается 9 цифр: {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Теперь посчитаем количество номеров $m$, которые можно составить из этих 9 цифр:

$m = 9 \times 9 \times 9 = 9^3 = 729$

Это количество номеров, в которых нет ни одной цифры 3.

Вероятность противоположного события $P(\bar{A})$ (что в номере нет ни одной цифры 3) вычисляется как отношение числа благоприятных для него исходов $m$ к общему числу исходов $N$:

$P(\bar{A}) = \frac{m}{N} = \frac{729}{1000}$

События $A$ и $\bar{A}$ являются противоположными, и сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, искомая вероятность $P(A)$ равна:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{729}{1000} = \frac{1000 - 729}{1000} = \frac{271}{1000} = 0,271$

Ответ: 0,271