Номер 774, страница 315 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.5. Вероятность и комбинаторика. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 774, страница 315.

774 Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета, если выбор осуществляется без возвращения? с возвращением?

В стандартной колоде из 36 карт есть два цвета: красный и черный. Количество карт каждого цвета равно 18 (18 красных и 18 черных). Событие "обе карты одного цвета" означает, что обе вытянутые карты либо красные, либо черные.

Вероятность этого события равна сумме вероятностей двух несовместных событий:
P(обе карты одного цвета) = P(обе карты красные) + P(обе карты черные).

без возвращения?

При выборе без возвращения первая извлеченная карта не возвращается в колоду. Это значит, что для второго выбора в колоде останется 35 карт.

1. Найдем вероятность того, что обе карты окажутся черными.
Вероятность вытянуть первую черную карту из 36 карт (среди которых 18 черных) равна $P_1(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 черных. Вероятность вытянуть вторую черную карту равна $P_2(\text{черная}) = \frac{17}{35}$.
Вероятность того, что обе карты черные, вычисляется как произведение вероятностей этих событий: $P(\text{обе черные}) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

2. Аналогично найдем вероятность того, что обе карты окажутся красными.
Вероятность вытянуть первую красную карту равна $P_1(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
После этого в колоде останется 35 карт, из которых 17 красных. Вероятность вытянуть вторую красную карту равна $P_2(\text{красная}) = \frac{17}{35}$.
Вероятность того, что обе карты красные: $P(\text{обе красные}) = \frac{18}{36} \cdot \frac{17}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{35} = \frac{17}{70}$.

3. Общая вероятность того, что обе карты будут одного цвета, равна сумме этих вероятностей:
$P(\text{один цвет}) = P(\text{обе черные}) + P(\text{обе красные}) = \frac{17}{70} + \frac{17}{70} = \frac{34}{70} = \frac{17}{35}$.

Ответ: $\frac{17}{35}$

с возвращением?

При выборе с возвращением первая карта после извлечения кладется обратно в колоду. Таким образом, состав колоды перед вторым извлечением не меняется (в ней снова 36 карт), и события являются независимыми.

1. Найдем вероятность того, что обе карты окажутся черными.
Вероятность вытянуть первую черную карту: $P_1(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Так как карта возвращается, вероятность вытянуть вторую черную карту такая же: $P_2(\text{черная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность того, что обе карты черные: $P(\text{обе черные}) = P_1(\text{черная}) \cdot P_2(\text{черная}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

2. Аналогично найдем вероятность того, что обе карты окажутся красными.
Вероятность вытянуть первую красную карту: $P_1(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность вытянуть вторую красную карту: $P_2(\text{красная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Вероятность того, что обе карты красные: $P(\text{обе красные}) = P_1(\text{красная}) \cdot P_2(\text{красная}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

3. Общая вероятность того, что обе карты будут одного цвета, равна сумме этих вероятностей:
$P(\text{один цвет}) = P(\text{обе черные}) + P(\text{обе красные}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$