Номер 778, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 778, страница 318.

778 a) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, чтобы расставить их по этапам эстафеты $4 \times 100$ м?

б) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, которые побегут стометровку?

а)

В данной задаче необходимо выбрать 4 спортсменов из 10 и назначить каждому из них свой этап в эстафете 4x100 м. Поскольку этапы эстафеты (первый, второй, третий, четвертый) различны, порядок выбора спортсменов имеет значение. Если поменять местами двух спортсменов, это будет уже другая команда для эстафеты.

Следовательно, для нахождения количества способов нужно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество спортсменов ($n=10$), а $k$ — количество спортсменов, которых нужно выбрать и расставить по этапам ($k=4$).

Подставим значения в формулу:

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7$

Вычислим результат:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 90 \times 56 = 5040$

Таким образом, существует 5040 способов выбрать и расставить четырёх спортсменов по этапам эстафеты.

Ответ: 5040.

б)

В этом случае тренеру нужно просто выбрать 4 спортсменов из 10, которые побегут стометровку. В отличие от эстафеты, здесь не важен порядок, в котором спортсмены выбраны. Важен лишь итоговый состав группы из четырех человек.

Поэтому для нахождения количества способов нужно использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество спортсменов ($n=10$), а $k$ — количество спортсменов, которых нужно выбрать ($k=4$).

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь и вычислим результат:

$C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Таким образом, существует 210 способов выбрать четырёх спортсменов для участия в стометровке.

Ответ: 210.