Номер 784, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 784, страница 318.

784Сколькими способами можно выбрать 2 яблока и 3 груши из вазы с фруктами, в которой лежит 7 яблок и 5 груш?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Задача состоит из двух независимых частей: выбор яблок и выбор груш. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого из этих выборов (согласно правилу произведения).

1. Найдём количество способов выбрать 2 яблока из 7.

Поскольку порядок, в котором мы выбираем яблоки, не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество яблок $n=7$, а количество яблок, которые нужно выбрать, $k=2$.

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$ способ.

2. Найдём количество способов выбрать 3 груши из 5.

Аналогично, порядок выбора груш не важен, поэтому мы снова используем формулу для числа сочетаний.

Здесь общее количество груш $n=5$, а выбрать нужно $k=3$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$ способов.

3. Найдём общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов выбрать 2 яблока и 3 груши, нужно перемножить количество способов выбора яблок и количество способов выбора груш.

Общее количество способов = $C_7^2 \cdot C_5^3 = 21 \cdot 10 = 210$.

Ответ: 210.