Номер 782, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 782, страница 318.

782 На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. В задаче дано 10 точек, и ключевым условием является то, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любой набор из трех точек, который мы выберем, однозначно образует треугольник.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из 10 имеющихся. Поскольку порядок выбора точек не важен (треугольник, образованный точками А, В, С, — это тот же самый треугольник, что и образованный точками В, С, А), мы имеем дело с сочетаниями.

Для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество точек)
• $k = 3$ (количество вершин у треугольника)

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Теперь выполним вычисления. Распишем факториалы и сократим:

$C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$

$C_{10}^3 = \frac{720}{6} = 120$

Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 точки из 10, а значит, можно построить 120 различных треугольников.

Ответ: 120.