Номер 783, страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.6. Размещения и сочетания. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 783, страница 318.

783 Сколькими способами из 30 учеников можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? троих? четверых?

Эта задача решается с помощью комбинаторики. Поскольку порядок, в котором выбирают учеников, не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний. Она позволяет определить, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Формула числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учеников $n = 30$.

двоих

Чтобы найти количество способов выбрать 2 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=2$ в формулу:

$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2 \cdot 1} = 29 \cdot 15 = 435$

Ответ: выбрать двоих учеников можно 435 способами.

троих

Чтобы найти количество способов выбрать 3 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=3$ в формулу:

$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 28 \cdot 29 \cdot 5 = 4060$

Ответ: выбрать троих учеников можно 4060 способами.

четверых

Чтобы найти количество способов выбрать 4 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=4$ в формулу:

$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 27 \cdot 7 \cdot 29 \cdot 5 = 27405$

Ответ: выбрать четверых учеников можно 27405 способами.