Страница 318 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Выясните, какие комбинации рассматриваются в задаче — размещения или сочетания, и ответьте на вопрос (777–779).

777 a) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг с тремя горизонтальными полосами, если имеется материал 12 различных цветов?

б) Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок?

а) В данной задаче рассматриваются размещения, так как важен порядок расположения цветов на флаге. Поскольку полосы на флаге горизонтальные, то флаг, у которого верхняя полоса, например, белая, средняя — синяя, а нижняя — красная, будет отличаться от флага с полосами "синий, белый, красный". Таким образом, мы имеем дело с упорядоченными наборами.

Нам нужно выбрать 3 цвета из 12 и расположить их в определённом порядке. Это задача на нахождение числа размещений из $n$ элементов по $k$. Формула для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество цветов $n = 12$, а количество полос на флаге $k = 3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1320$

Также можно рассуждать, используя правило умножения: для верхней полосы есть 12 вариантов выбора цвета. Для средней полосы остаётся 11 вариантов (так как один цвет уже использован и цвета должны быть различными). Для нижней полосы остаётся 10 вариантов. Общее число способов равно произведению вариантов для каждой полосы:

$12 \times 11 \times 10 = 1320$

Ответ: 1320 способами.

б) В этой задаче рассматриваются сочетания, так как порядок выбора красок не имеет значения. Нам нужно просто выбрать набор из 3 красок, и неважно, в какой последовательности мы их выбрали. Набор {красная, зелёная, синяя} краска — это то же самое, что и набор {зелёная, синяя, красная}.

Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество красок $n = 12$, а количество красок, которые нужно выбрать, $k = 3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$

Ответ: 220 способами.

778 a) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, чтобы расставить их по этапам эстафеты $4 \times 100$ м?

б) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, которые побегут стометровку?

а)

В данной задаче необходимо выбрать 4 спортсменов из 10 и назначить каждому из них свой этап в эстафете 4x100 м. Поскольку этапы эстафеты (первый, второй, третий, четвертый) различны, порядок выбора спортсменов имеет значение. Если поменять местами двух спортсменов, это будет уже другая команда для эстафеты.

Следовательно, для нахождения количества способов нужно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество спортсменов ($n=10$), а $k$ — количество спортсменов, которых нужно выбрать и расставить по этапам ($k=4$).

Подставим значения в формулу:

$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7$

Вычислим результат:

$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 90 \times 56 = 5040$

Таким образом, существует 5040 способов выбрать и расставить четырёх спортсменов по этапам эстафеты.

Ответ: 5040.

б)

В этом случае тренеру нужно просто выбрать 4 спортсменов из 10, которые побегут стометровку. В отличие от эстафеты, здесь не важен порядок, в котором спортсмены выбраны. Важен лишь итоговый состав группы из четырех человек.

Поэтому для нахождения количества способов нужно использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество спортсменов ($n=10$), а $k$ — количество спортсменов, которых нужно выбрать ($k=4$).

Подставим значения в формулу:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь и вычислим результат:

$C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

Таким образом, существует 210 способов выбрать четырёх спортсменов для участия в стометровке.

Ответ: 210.

779 а) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду для игры на первой, второй, третьей, четвёртой, пятой досках в турнире?

б) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду из 5 человек для турнира?

Запишите ответ к задаче в общем виде, используя обозначения для числа размещений, сочетаний, перестановок (780—785).

а) В этой задаче необходимо выбрать 5 человек из 15 и назначить каждому из них определенную доску для игры (первую, вторую, третью, четвертую, пятую). Поскольку важен не только состав команды, но и распределение игроков по доскам, порядок выбора имеет значение. Следовательно, для решения нужно использовать формулу для числа размещений (arrangements) из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В данном случае общее число шахматистов $n = 15$, а количество игроков в команде (и количество досок) $k = 5$.

Рассчитаем количество способов:

$A_{15}^5 = \frac{15!}{(15-5)!} = \frac{15!}{10!} = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 360360$.

В общем виде, согласно требованию задачи, ответ записывается с использованием обозначения для числа размещений: $A_{15}^5$.

Ответ: $360360$ способов.

б) В данном случае тренеру нужно просто набрать команду из 5 человек. Порядок, в котором он выбирает шахматистов, не важен, так как их роли внутри команды (распределение по доскам) не уточняются. Важен лишь итоговый состав группы. Поэтому для решения используется формула для числа сочетаний (combinations) из $n$ элементов по $k$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = 15$ и $k = 5$.

Рассчитаем количество способов:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$.

После сокращения дроби получаем:

$C_{15}^5 = 7 \times 13 \times 3 \times 11 = 3003$.

В общем виде, согласно требованию задачи, ответ записывается с использованием обозначения для числа сочетаний: $C_{15}^5$.

Ответ: $3003$ способа.

780 Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36 в билете «Спортлото: 5 из 36»?

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 36 элементов по 5, поскольку порядок, в котором зачеркиваются номера, не имеет значения. Мы ищем, сколькими способами можно выбрать группу из 5 номеров из общего набора в 36 номеров.

Для этого используется формула числа сочетаний: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ где $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор, а $k$ — количество элементов, которое нужно выбрать.

В данном случае:

• $n = 36$ (общее количество номеров в билете)
• $k = 5$ (количество номеров, которые нужно зачеркнуть)

Подставляем значения в формулу: $$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!}$$

Чтобы вычислить это значение, распишем факториалы. Заметим, что $36! = 36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31!$. Это позволяет сократить $31!$ в числителе и знаменателе: $$C_{36}^5 = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

Произведем вычисления, сокращая множители в числителе и знаменателе: $$C_{36}^5 = \frac{36}{4 \times 3} \times \frac{35}{5} \times \frac{32}{2} \times 34 \times 33$$ $$C_{36}^5 = 3 \times 7 \times 16 \times 34 \times 33$$ Теперь перемножим полученные числа: $$3 \times 7 = 21$$ $$21 \times 16 = 336$$ $$336 \times 34 = 11424$$ $$11424 \times 33 = 376992$$ Таким образом, существует 376 992 различных способа зачеркнуть 5 номеров из 36.

Ответ: 376 992.

781 На плоскости отмечено 4 точки. Сколькими способами их можно обозначить буквами латинского алфавита? (В латинском алфавите 26 букв.)

Для решения этой задачи необходимо применить методы комбинаторики. У нас есть 4 различные точки, которые нужно обозначить буквами латинского алфавита. В латинском алфавите 26 букв. Поскольку точки принято обозначать разными буквами, мы будем выбирать 4 разные буквы из 26. Также важен порядок, в котором мы присваиваем буквы точкам, так как, например, обозначение точек (P₁, P₂, P₃, P₄) как (A, B, C, D) является другим способом по сравнению с (B, A, C, D). Следовательно, нам нужно найти число размещений без повторений.

Рассуждать можно следующим образом:

Для обозначения первой точки у нас есть 26 вариантов (любая буква алфавита).

Для обозначения второй точки остается 25 вариантов, так как одна буква уже использована.

Для третьей точки остается 24 варианта.

Для четвертой точки остается 23 варианта.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество доступных вариантов для каждой точки, используя правило произведения в комбинаторике.

Это соответствует формуле для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=26$ (общее количество букв) и $k=4$ (количество точек).

$A_{26}^4 = \frac{26!}{(26-4)!} = \frac{26!}{22!} = 26 \times 25 \times 24 \times 23$

Вычислим произведение:

$26 \times 25 = 650$

$24 \times 23 = 552$

$650 \times 552 = 358800$

Таким образом, существует 358 800 способов обозначить 4 точки на плоскости буквами латинского алфавита.

Ответ: 358 800.

782 На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Для построения одного треугольника необходимо выбрать 3 точки, которые будут его вершинами. В задаче дано 10 точек, и ключевым условием является то, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что любой набор из трех точек, который мы выберем, однозначно образует треугольник.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из 10 имеющихся. Поскольку порядок выбора точек не важен (треугольник, образованный точками А, В, С, — это тот же самый треугольник, что и образованный точками В, С, А), мы имеем дело с сочетаниями.

Для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество точек)
• $k = 3$ (количество вершин у треугольника)

Подставляем наши значения в формулу:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Теперь выполним вычисления. Распишем факториалы и сократим:

$C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$

$C_{10}^3 = \frac{720}{6} = 120$

Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 точки из 10, а значит, можно построить 120 различных треугольников.

Ответ: 120.

783 Сколькими способами из 30 учеников можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? троих? четверых?

Эта задача решается с помощью комбинаторики. Поскольку порядок, в котором выбирают учеников, не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний. Она позволяет определить, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов.

Формула числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учеников $n = 30$.

двоих

Чтобы найти количество способов выбрать 2 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=2$ в формулу:

$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2 \cdot 1} = 29 \cdot 15 = 435$

Ответ: выбрать двоих учеников можно 435 способами.

троих

Чтобы найти количество способов выбрать 3 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=3$ в формулу:

$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30!}{3! \cdot 27!} = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 28 \cdot 29 \cdot 5 = 4060$

Ответ: выбрать троих учеников можно 4060 способами.

четверых

Чтобы найти количество способов выбрать 4 учеников из 30, подставим $n=30$ и $k=4$ в формулу:

$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4! \cdot 26!} = \frac{27 \cdot 28 \cdot 29 \cdot 30}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 27 \cdot 7 \cdot 29 \cdot 5 = 27405$

Ответ: выбрать четверых учеников можно 27405 способами.

784Сколькими способами можно выбрать 2 яблока и 3 груши из вазы с фруктами, в которой лежит 7 яблок и 5 груш?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. Задача состоит из двух независимых частей: выбор яблок и выбор груш. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого из этих выборов (согласно правилу произведения).

1. Найдём количество способов выбрать 2 яблока из 7.

Поскольку порядок, в котором мы выбираем яблоки, не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае общее количество яблок $n=7$, а количество яблок, которые нужно выбрать, $k=2$.

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{42}{2} = 21$ способ.

2. Найдём количество способов выбрать 3 груши из 5.

Аналогично, порядок выбора груш не важен, поэтому мы снова используем формулу для числа сочетаний.

Здесь общее количество груш $n=5$, а выбрать нужно $k=3$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$ способов.

3. Найдём общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов выбрать 2 яблока и 3 груши, нужно перемножить количество способов выбора яблок и количество способов выбора груш.

Общее количество способов = $C_7^2 \cdot C_5^3 = 21 \cdot 10 = 210$.

Ответ: 210.

785 В футбольной секции 24 человека. Сколькими способами можно выбрать из них футбольную команду (11 человек) так, чтобы Женя и Серёжа не входили в команду одновременно?

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов сформировать футбольную команду из 11 человек из 24, при условии, что два конкретных человека (Женя и Серёжа) не могут быть в команде одновременно. Эту задачу можно решить двумя основными способами.

Способ 1: Метод исключения

Этот подход заключается в том, чтобы сначала найти общее число способов сформировать команду без каких-либо ограничений, а затем вычесть из него число "нежелательных" способов, то есть тех, где Женя и Серёжа оказываются в команде вместе.

Шаг 1. Найдём общее число способов выбрать 11 футболистов из 24. Так как порядок выбора игроков не имеет значения, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для $n=24$ (всего человек) и $k=11$ (размер команды) получаем:
$C_{24}^{11} = \frac{24!}{11!(24-11)!} = \frac{24!}{11!13!} = 2\,496\,144$ способов.

Шаг 2. Теперь найдём число способов, при которых Женя и Серёжа оба входят в команду. Если они уже гарантированно в команде, то нам остаётся выбрать ещё $11 - 2 = 9$ игроков. Выбирать их нужно из оставшихся $24 - 2 = 22$ человек.
Число таких "нежелательных" способов равно:
$C_{22}^{9} = \frac{22!}{9!(22-9)!} = \frac{22!}{9!13!} = 497\,420$ способов.

Шаг 3. Чтобы найти искомое количество способов, вычтем из общего числа способов число способов, когда Женя и Серёжа в команде вместе.
$N = C_{24}^{11} - C_{22}^{9} = 2\,496\,144 - 497\,420 = 1\,998\,724$ способа.

Ответ: $1\,998\,724$

Способ 2: Прямой подсчёт благоприятных исходов

Этот метод заключается в прямом подсчёте всех вариантов, которые удовлетворяют условию задачи. Условие "Женя и Серёжа не входят в команду одновременно" можно разбить на три непересекающихся (взаимоисключающих) случая.

1. Женя входит в команду, а Серёжа — нет. В этом случае одно место в команде занято Женей. Нам нужно добрать $11 - 1 = 10$ игроков. Выбирать их нужно из группы, в которую не входят ни Женя, ни Серёжа, то есть из $24 - 2 = 22$ человек.
Количество способов: $C_{22}^{10} = \frac{22!}{10!(22-10)!} = \frac{22!}{10!12!} = 646\,646$.

2. Серёжа входит в команду, а Женя — нет. Эта ситуация полностью симметрична предыдущей. Количество способов будет таким же.
Количество способов: $C_{22}^{10} = 646\,646$.

3. Ни Женя, ни Серёжа не входят в команду. В этом случае мы исключаем обоих из рассмотрения и выбираем все 11 игроков из оставшихся $24 - 2 = 22$ человек.
Количество способов: $C_{22}^{11} = \frac{22!}{11!(22-11)!} = \frac{22!}{11!11!} = 705\,432$.

Поскольку эти три случая не пересекаются, общее количество способов, удовлетворяющих условию, равно их сумме:
$N = C_{22}^{10} + C_{22}^{10} + C_{22}^{11} = 646\,646 + 646\,646 + 705\,432 = 1\,998\,724$ способа.

Ответ: $1\,998\,724$

Определите вероятность рассматриваемого события (786–788).

786 a) Пять друзей: Коля, Саша, Ваня, Петя и Толя — достали два билета на новый фильм. Кто пойдёт в кино, решили определять по жребию. Какова вероятность того, что это будут Коля и Саша?

б) Кодовый замок имеет десять кнопок с цифрами от 0 до 9. Он открывается одновременным нажатием трёх определённых кнопок. Какова вероятность того, что человек, не знающий кода, откроет замок с первого раза?

а) Для решения этой задачи нужно определить общее количество способов выбрать двух друзей из пяти и количество благоприятных исходов.

Общее число исходов — это количество способов выбрать 2 человека из 5. Поскольку порядок выбора не имеет значения (пара Коля и Саша — это то же самое, что и Саша и Коля), мы используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Здесь $n=5$ (общее количество друзей), а $k=2$ (количество билетов).
Общее число возможных пар (исходов) равно:

$N = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Итак, существует 10 различных пар друзей, которые могут пойти в кино.

Благоприятный исход — это тот, при котором билеты достанутся Коле и Саше. Такой исход только один, поэтому число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ данного события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) В этой задаче нужно найти вероятность угадать правильную комбинацию из трёх кнопок на кодовом замке с первого раза.

На замке 10 кнопок (с цифрами от 0 до 9). Код состоит из одновременного нажатия трёх кнопок. Это означает, что порядок нажатия не важен. Следовательно, нам нужно найти общее количество сочетаний из 10 кнопок по 3.

Общее число возможных комбинаций $N$ равно числу сочетаний из 10 по 3:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов нажать три кнопки одновременно.

Правильная комбинация, открывающая замок, только одна. Значит, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность $P$ открыть замок с первой попытки равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

$P = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$

Ответ: $\frac{1}{120}$