Страница 325 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Средний рост мальчиков в младшей группе секции плавания равен 143 см. Рост Саши, который занимается в этой группе, 147 см.

Какое из следующих утверждений является верным?

1) половина мальчиков группы имеет рост, меньший 143 см, а половина — больший

2) в группе обязательно есть мальчик, рост которого 143 см

3) в группе обязательно есть мальчик, рост которого меньше 143 см

4) большинство мальчиков этой группы имеют рост 143 см

Для решения этой задачи проанализируем каждое утверждение, используя определение среднего арифметического.

Среднее арифметическое (в данном случае, средний рост) вычисляется по формуле: $$ \text{Средний рост} = \frac{\text{Сумма всех ростов}}{\text{Количество мальчиков}} $$

Пусть в группе $N$ мальчиков, а их рост $h_1, h_2, \dots, h_N$. Тогда средний рост равен 143 см:

Отсюда следует, что сумма всех ростов равна $143 \times N$. Также мы знаем, что один из мальчиков — это Саша, и его рост составляет 147 см. Рост Саши больше среднего роста ($147 \text{ см} > 143 \text{ см}$).

1) половина мальчиков группы имеет рост, меньший 143 см, а половина — больший

Это утверждение описывает медиану, а не среднее арифметическое. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Среднее значение и медиана совпадают только в симметричных распределениях, но в общем случае это не так. Например, если в группе три мальчика с ростом 140 см, 142 см и 147 см (рост Саши), то их средний рост будет:

В этом примере два мальчика имеют рост меньше 143 см и только один — больше. Таким образом, утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: неверно.

2) в группе обязательно есть мальчик, рост которого 143 см

Это утверждение также неверно. Среднее значение не обязано совпадать ни с одним из значений в наборе данных. В приведенном выше примере (рост мальчиков 140 см, 142 см, 147 см) средний рост равен 143 см, но ни у одного из мальчиков нет такого роста.

Ответ: неверно.

3) в группе обязательно есть мальчик, рост которого меньше 143 см

Это утверждение верно. Средний рост — это "точка баланса". Сумма отклонений всех значений от среднего равна нулю. Рост Саши (147 см) на 4 см больше среднего ($147 - 143 = +4$). Чтобы скомпенсировать это "положительное" отклонение и сохранить среднее значение на уровне 143 см, в группе должен быть хотя бы один мальчик с "отрицательным" отклонением, то есть с ростом меньше 143 см. Если предположить, что все мальчики, кроме Саши, имеют рост 143 см или больше, то их средний рост был бы больше 143 см. Поскольку мы знаем, что один рост (Саши) больше среднего, то для того, чтобы среднее значение осталось равным 143 см, обязательно должен быть хотя бы один рост меньше среднего.

Ответ: верно.

4) большинство мальчиков этой группы имеют рост 143 см

Это утверждение описывает моду. Мода — это наиболее часто встречающееся значение в наборе данных. Среднее значение и мода — это разные характеристики, и они не обязаны совпадать. Например, в группе из 5 мальчиков с ростом 125 см, 125 см, 147 см (Саша), 159 см, 159 см, средний рост будет:

В этом примере ни один мальчик не имеет рост 143 см, не говоря уже о большинстве. Таким образом, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.

6 По гистограмме, изображённой на рисунке 5.7 (см. с. 301), определите, сколько квартир в исследованной выборке имеют площадь менее $45 \text{ м}^2$.

6.

Для того чтобы определить, сколько квартир в исследованной выборке имеют площадь менее $45 \text{ м}^2$, необходимо проанализировать гистограмму, указанную в задании как "рисунок 5.7". Гистограмма представляет собой столбчатую диаграмму, где по горизонтальной оси отложены интервалы значений (в данном случае, площадь квартир), а по вертикальной оси — частота попадания в этот интервал (количество квартир).

Алгоритм решения задачи:

1. Найти на гистограмме интервалы площадей, которые меньше $45 \text{ м}^2$.
   Обычно интервалы на гистограммах задаются с шагом, например, 5 или 10. Нам нужно найти все столбцы, соответствующие интервалам, которые заканчиваются на отметке $45 \text{ м}^2$ или ранее. Например, это могут быть интервалы $[30; 35)$, $[35; 40)$ и $[40; 45)$.
2. Определить количество квартир для каждого из этих интервалов.
   Высота каждого столбца на гистограмме соответствует количеству квартир в данном интервале. Нужно посмотреть на вертикальную ось и определить значение для каждого из выбранных столбцов.
3. Суммировать количество квартир.
   Чтобы найти общее количество квартир с площадью менее $45 \text{ м}^2$, нужно сложить количество квартир из всех найденных интервалов.

Поскольку изображение самой гистограммы (рисунок 5.7) не предоставлено, невозможно дать точный численный ответ. Решение полностью зависит от данных на этой гистограмме.

Пример рассуждений (с гипотетическими данными):

Предположим, на гистограмме были бы следующие данные:

• Интервал $[30; 35) \text{ м}^2$: 4 квартиры
• Интервал $[35; 40) \text{ м}^2$: 10 квартир
• Интервал $[40; 45) \text{ м}^2$: 15 квартир

Тогда общее количество квартир с площадью менее $45 \text{ м}^2$ рассчитывалось бы как сумма квартир в этих интервалах:

$N = 4 + 10 + 15 = 29$

Таким образом, в этом гипотетическом примере было бы 29 квартир.

Ответ: Для предоставления точного ответа необходимо видеть гистограмму (рисунок 5.7), так как решение зависит от конкретных данных, изображенных на ней.

7 В таблице приведены сведения об отметках Сергея по алгебре за второе полугодие:

Отметка 2, 3, 4, 5

Число повторений 3, 6, 12, 8

Найдите стандартное отклонение этого ряда отметок. (При необходимости можно воспользоваться калькулятором.)

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чтобы его найти, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найдем общее количество отметок (размер выборки) N.

Для этого нужно сложить все значения из строки "Число повторений" в таблице:

$N = 3 + 6 + 12 + 8 = 29$

Таким образом, всего в ряду 29 отметок.

2. Вычислим среднее арифметическое ряда отметок $\bar{x}$.

Среднее арифметическое для такого ряда данных (его еще называют взвешенным средним) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}$

где $x_i$ — это отметка, а $f_i$ — её частота (число повторений).

Подставим наши данные в формулу:

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 8}{29} = \frac{6 + 18 + 48 + 40}{29} = \frac{112}{29}$

В десятичном виде это примерно $\bar{x} \approx 3.862$. Для точности вычислений лучше использовать дробь.

3. Рассчитаем дисперсию ряда $D$ (или $\sigma^2$).

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии:

$D = \sigma^2 = \frac{\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N}$

Рассчитаем сумму квадратов отклонений, умноженных на их частоты:

• Для отметки 2: $3 \cdot (2 - \frac{112}{29})^2 = 3 \cdot (\frac{58 - 112}{29})^2 = 3 \cdot (-\frac{54}{29})^2 = 3 \cdot \frac{2916}{841} = \frac{8748}{841}$
• Для отметки 3: $6 \cdot (3 - \frac{112}{29})^2 = 6 \cdot (\frac{87 - 112}{29})^2 = 6 \cdot (-\frac{25}{29})^2 = 6 \cdot \frac{625}{841} = \frac{3750}{841}$
• Для отметки 4: $12 \cdot (4 - \frac{112}{29})^2 = 12 \cdot (\frac{116 - 112}{29})^2 = 12 \cdot (\frac{4}{29})^2 = 12 \cdot \frac{16}{841} = \frac{192}{841}$
• Для отметки 5: $8 \cdot (5 - \frac{112}{29})^2 = 8 \cdot (\frac{145 - 112}{29})^2 = 8 \cdot (\frac{33}{29})^2 = 8 \cdot \frac{1089}{841} = \frac{8688}{841}$

Теперь найдем сумму этих значений (числитель в формуле дисперсии):

$\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 = \frac{8748 + 3750 + 192 + 8688}{841} = \frac{21378}{841}$

Разделим эту сумму на общее количество отметок $N=29$, чтобы найти дисперсию:

$D = \frac{21378/841}{29} = \frac{21378}{841 \cdot 29} = \frac{21378}{24389} \approx 0.8765$

4. Найдем стандартное отклонение $\sigma$.

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{21378}{24389}} \approx \sqrt{0.8765} \approx 0.9362$

Округляя результат до сотых, получаем:

$\sigma \approx 0.94$

Ответ: стандартное отклонение этого ряда отметок приблизительно равно 0.94.

8 При выборочной проверке партии консервов масса трёх банок из 450 оказалась меньше допустимой. Какова вероятность того, что наудачу выбранная банка из этой партии будет иметь массу меньше допустимой?

1) менее $\mathbf{1\%}$

2) от $\mathbf{1}$ до $\mathbf{2\%}$

3) от $\mathbf{2}$ до $\mathbf{3\%}$

4) более $\mathbf{3\%}$

Для решения данной задачи мы будем использовать статистическое определение вероятности. Вероятность события в данном случае — это относительная частота, с которой это событие происходит в серии испытаний. Она вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу проведённых испытаний.

Обозначим событие A как «наудачу выбранная банка из партии имеет массу меньше допустимой».

Из условия задачи нам известны следующие данные:

Общее число проверенных банок (общее число испытаний) $N = 450$.

Число банок с массой меньше допустимой (число благоприятствующих исходов для события A) $m = 3$.

Вероятность $P(A)$ события A можно оценить по формуле относительной частоты:$P(A) \approx \frac{m}{N}$

Подставим в формулу числовые значения из условия:$P(A) \approx \frac{3}{450}$

Для удобства сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 3:$P(A) \approx \frac{1}{150}$

Теперь переведем полученную вероятность в проценты. Для этого необходимо умножить значение дроби на 100%:$P(A) \text{ в %} \approx \frac{1}{150} \times 100\% = \frac{100}{150}\% = \frac{2}{3}\%$

Вычислим приближенное значение дроби $\frac{2}{3}$:$\frac{2}{3}\% \approx 0,67\%$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа. Значение $0,67\%$ меньше, чем $1\%$. Следовательно, верным является вариант ответа 1.

Ответ: 1) менее 1%

9 Для определения численности популяции редкого вида бабочек в горной долине был произведён их отлов. Было помечено и затем отпущено 56 бабочек. Через некоторое время отлов повторили. Среди 60 пойманных бабочек 5 оказались помеченными. Сколько примерно бабочек в этой популяции?

Для оценки общей численности популяции используется метод мечения и повторного отлова. Идея метода состоит в том, что доля помеченных особей во второй выборке должна быть примерно такой же, как и доля помеченных особей во всей популяции.

Введем обозначения:

• $N$ — общая численность популяции (искомая величина).
• $M$ — количество помеченных бабочек в первом отлове, $M = 56$.
• $C$ — количество бабочек во втором отлове, $C = 60$.
• $R$ — количество помеченных бабочек, обнаруженных во втором отлове, $R = 5$.

Составим пропорцию, приравнивая долю помеченных особей в популяции к доле помеченных особей во второй выборке:

$\frac{\text{помеченные в популяции}}{\text{вся популяция}} = \frac{\text{помеченные в выборке}}{\text{вся выборка}}$

$\frac{M}{N} = \frac{R}{C}$

Подставим в эту формулу известные значения:

$\frac{56}{N} = \frac{5}{60}$

Теперь решим это уравнение относительно $N$. Для этого воспользуемся свойством пропорции (правилом креста):

$5 \times N = 56 \times 60$

$5N = 3360$

Найдем $N$, разделив обе части на 5:

$N = \frac{3360}{5}$

$N = 672$

Таким образом, примерная численность популяции бабочек составляет 672 особи.

Ответ: 672 бабочки.

10 Игральный кубик бросают два раза. Какое из следующих событий наиболее вероятно?

1) оба раза выпадет единица

2) оба раза выпадет пятёрка

3) сумма выпавших очков будет равна 2

4) сумма выпавших очков будет равна 10

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих каждому из событий. Затем сравним вероятности этих событий.

При броске стандартного игрального кубика (с 6 гранями, пронумерованными от 1 до 6) два раза, общее число всех равновозможных исходов равно произведению числа исходов для каждого броска. Так как при каждом броске возможно 6 исходов, общее число исходов $N$ составляет:

$N = 6 \times 6 = 36$

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов. Наиболее вероятным будет событие с наибольшей вероятностью.

1) оба раза выпадет единица

Этому событию благоприятствует только один исход: когда при первом броске выпала 1 и при втором броске выпала 1. Это комбинация (1, 1).

Число благоприятных исходов $m_1 = 1$.

Вероятность этого события $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{1}{36}$

Ответ: $P_1 = \frac{1}{36}$.

2) оба раза выпадет пятёрка

Этому событию также благоприятствует только один исход: комбинация (5, 5).

Число благоприятных исходов $m_2 = 1$.

Вероятность этого события $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{1}{36}$

Ответ: $P_2 = \frac{1}{36}$.

3) сумма выпавших очков будет равна 2

Сумма очков, равная 2, может быть получена только одним способом: если на обоих кубиках выпадет по 1. Это комбинация (1, 1), которая совпадает с событием из пункта 1.

Число благоприятных исходов $m_3 = 1$.

Вероятность этого события $P_3$ равна:

$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{1}{36}$

Ответ: $P_3 = \frac{1}{36}$.

4) сумма выпавших очков будет равна 10

Найдем все комбинации, при которых сумма выпавших очков равна 10. Обозначим результат первого броска как $k_1$, а второго — как $k_2$. Ищем пары ($k_1, k_2$), где $k_1 + k_2 = 10$ и оба значения от 1 до 6.

Такими комбинациями являются:

• (4, 6) - на первом кубике 4, на втором 6
• (5, 5) - на первом кубике 5, на втором 5
• (6, 4) - на первом кубике 6, на втором 4

Всего существует 3 благоприятных исхода.

Число благоприятных исходов $m_4 = 3$.

Вероятность этого события $P_4$ равна:

$P_4 = \frac{m_4}{N} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Ответ: $P_4 = \frac{3}{36}$.

Сравнение вероятностей и итоговый вывод

Теперь сравним полученные вероятности:

$P_1 = \frac{1}{36}$

$P_2 = \frac{1}{36}$

$P_3 = \frac{1}{36}$

$P_4 = \frac{3}{36}$

Наибольшей является вероятность $P_4 = \frac{3}{36}$. Следовательно, событие "сумма выпавших очков будет равна 10" является наиболее вероятным из предложенных.

Ответ: 4) сумма выпавших очков будет равна 10.