Номер 5, страница 325 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 5, страница 325.

5 Средний рост мальчиков в младшей группе секции плавания равен 143 см. Рост Саши, который занимается в этой группе, 147 см.

Какое из следующих утверждений является верным?

1) половина мальчиков группы имеет рост, меньший 143 см, а половина — больший

2) в группе обязательно есть мальчик, рост которого 143 см

3) в группе обязательно есть мальчик, рост которого меньше 143 см

4) большинство мальчиков этой группы имеют рост 143 см

Для решения этой задачи проанализируем каждое утверждение, используя определение среднего арифметического.

Среднее арифметическое (в данном случае, средний рост) вычисляется по формуле: $$ \text{Средний рост} = \frac{\text{Сумма всех ростов}}{\text{Количество мальчиков}} $$

Пусть в группе $N$ мальчиков, а их рост $h_1, h_2, \dots, h_N$. Тогда средний рост равен 143 см:

$$ \frac{h_1 + h_2 + \dots + h_N}{N} = 143 $$

Отсюда следует, что сумма всех ростов равна $143 \times N$. Также мы знаем, что один из мальчиков — это Саша, и его рост составляет 147 см. Рост Саши больше среднего роста ($147 \text{ см} > 143 \text{ см}$).

1) половина мальчиков группы имеет рост, меньший 143 см, а половина — больший

Это утверждение описывает медиану, а не среднее арифметическое. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Среднее значение и медиана совпадают только в симметричных распределениях, но в общем случае это не так. Например, если в группе три мальчика с ростом 140 см, 142 см и 147 см (рост Саши), то их средний рост будет:

$$ \frac{140 + 142 + 147}{3} = \frac{429}{3} = 143 \text{ см} $$

В этом примере два мальчика имеют рост меньше 143 см и только один — больше. Таким образом, утверждение не является верным в общем случае.

Ответ: неверно.

2) в группе обязательно есть мальчик, рост которого 143 см

Это утверждение также неверно. Среднее значение не обязано совпадать ни с одним из значений в наборе данных. В приведенном выше примере (рост мальчиков 140 см, 142 см, 147 см) средний рост равен 143 см, но ни у одного из мальчиков нет такого роста.

Ответ: неверно.

3) в группе обязательно есть мальчик, рост которого меньше 143 см

Это утверждение верно. Средний рост — это "точка баланса". Сумма отклонений всех значений от среднего равна нулю. Рост Саши (147 см) на 4 см больше среднего ($147 - 143 = +4$). Чтобы скомпенсировать это "положительное" отклонение и сохранить среднее значение на уровне 143 см, в группе должен быть хотя бы один мальчик с "отрицательным" отклонением, то есть с ростом меньше 143 см. Если предположить, что все мальчики, кроме Саши, имеют рост 143 см или больше, то их средний рост был бы больше 143 см. Поскольку мы знаем, что один рост (Саши) больше среднего, то для того, чтобы среднее значение осталось равным 143 см, обязательно должен быть хотя бы один рост меньше среднего.

Ответ: верно.

4) большинство мальчиков этой группы имеют рост 143 см

Это утверждение описывает моду. Мода — это наиболее часто встречающееся значение в наборе данных. Среднее значение и мода — это разные характеристики, и они не обязаны совпадать. Например, в группе из 5 мальчиков с ростом 125 см, 125 см, 147 см (Саша), 159 см, 159 см, средний рост будет:

$$ \frac{125 + 125 + 147 + 159 + 159}{5} = \frac{715}{5} = 143 \text{ см} $$

В этом примере ни один мальчик не имеет рост 143 см, не говоря уже о большинстве. Таким образом, это утверждение неверно.

Ответ: неверно.