Номер 7, страница 325 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 7, страница 325.

7 В таблице приведены сведения об отметках Сергея по алгебре за второе полугодие:

Отметка 2, 3, 4, 5

Число повторений 3, 6, 12, 8

Найдите стандартное отклонение этого ряда отметок. (При необходимости можно воспользоваться калькулятором.)

Стандартное отклонение (или среднеквадратическое отклонение) является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чтобы его найти, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Найдем общее количество отметок (размер выборки) N.

Для этого нужно сложить все значения из строки "Число повторений" в таблице:

$N = 3 + 6 + 12 + 8 = 29$

Таким образом, всего в ряду 29 отметок.

2. Вычислим среднее арифметическое ряда отметок $\bar{x}$.

Среднее арифметическое для такого ряда данных (его еще называют взвешенным средним) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}$

где $x_i$ — это отметка, а $f_i$ — её частота (число повторений).

Подставим наши данные в формулу:

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 12 + 5 \cdot 8}{29} = \frac{6 + 18 + 48 + 40}{29} = \frac{112}{29}$

В десятичном виде это примерно $\bar{x} \approx 3.862$. Для точности вычислений лучше использовать дробь.

3. Рассчитаем дисперсию ряда $D$ (или $\sigma^2$).

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Формула для вычисления дисперсии:

$D = \sigma^2 = \frac{\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N}$

Рассчитаем сумму квадратов отклонений, умноженных на их частоты:

• Для отметки 2: $3 \cdot (2 - \frac{112}{29})^2 = 3 \cdot (\frac{58 - 112}{29})^2 = 3 \cdot (-\frac{54}{29})^2 = 3 \cdot \frac{2916}{841} = \frac{8748}{841}$
• Для отметки 3: $6 \cdot (3 - \frac{112}{29})^2 = 6 \cdot (\frac{87 - 112}{29})^2 = 6 \cdot (-\frac{25}{29})^2 = 6 \cdot \frac{625}{841} = \frac{3750}{841}$
• Для отметки 4: $12 \cdot (4 - \frac{112}{29})^2 = 12 \cdot (\frac{116 - 112}{29})^2 = 12 \cdot (\frac{4}{29})^2 = 12 \cdot \frac{16}{841} = \frac{192}{841}$
• Для отметки 5: $8 \cdot (5 - \frac{112}{29})^2 = 8 \cdot (\frac{145 - 112}{29})^2 = 8 \cdot (\frac{33}{29})^2 = 8 \cdot \frac{1089}{841} = \frac{8688}{841}$

Теперь найдем сумму этих значений (числитель в формуле дисперсии):

$\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 = \frac{8748 + 3750 + 192 + 8688}{841} = \frac{21378}{841}$

Разделим эту сумму на общее количество отметок $N=29$, чтобы найти дисперсию:

$D = \frac{21378/841}{29} = \frac{21378}{841 \cdot 29} = \frac{21378}{24389} \approx 0.8765$

4. Найдем стандартное отклонение $\sigma$.

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{21378}{24389}} \approx \sqrt{0.8765} \approx 0.9362$

Округляя результат до сотых, получаем:

$\sigma \approx 0.94$

Ответ: стандартное отклонение этого ряда отметок приблизительно равно 0.94.