Страница 319 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

787 В урне находится 4 синих и 2 красных шара, одинаковые на ощупь. Не глядя из неё вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они синие?

Для решения задачи воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов (N).

Всего в урне находится 4 + 2 = 6 шаров. Мы вынимаем 3 шара. Общее число способов выбрать 3 шара из 6 — это число сочетаний из 6 по 3.

$N = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Таким образом, существует 20 различных способов вынуть 3 шара из урны.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m).

Благоприятствующий исход — это когда все 3 вынутых шара синие. В урне 4 синих шара. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 3 синих шара из 4 имеющихся. Это число сочетаний из 4 по 3.

$m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4$.

Следовательно, существует 4 способа вынуть 3 синих шара.

3. Вычислим вероятность.

Теперь мы можем найти вероятность того, что все 3 вынутых шара будут синими, разделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов.

$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

Вероятность этого события также можно выразить в виде десятичной дроби: $\frac{1}{5} = 0.2$ или в процентах: $20\%$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

1) В математике есть формула для нахождения числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Используя эту формулу, решите ещё раз задачи 777 (а), 778 (а), 779 (а). Получился ли у вас тот же ответ?

2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1) В математике есть формула для нахождения числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Используя эту формулу, решите ещё раз задачи 777 (а), 778 (а), 779 (а). Получился ли у вас тот же ответ?

Поскольку условия задач 777-779 не предоставлены, мы предположим их содержание, исходя из того, что они решаются с помощью формулы числа размещений. Размещениями из $n$ элементов по $k$ называют упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. Задачи на размещения обычно связаны с выбором, где важен порядок. Применение формулы должно давать тот же результат, что и решение с помощью комбинаторного правила умножения.

Решение для гипотетической задачи 777 (а):
Предположим, условие задачи было: "Сколькими способами можно составить расписание из 3 разных уроков, если в классе изучается 8 предметов?"
В этой задаче порядок уроков важен. Мы выбираем 3 предмета из 8 и расставляем их в определенном порядке. Это является размещением.
Здесь $n=8$ (общее число предметов), $k=3$ (число уроков в расписании).
Используем формулу для числа размещений:
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
Ранее такая задача могла быть решена правилом умножения: для первого урока есть 8 вариантов, для второго — 7 (так как предметы разные), для третьего — 6. Всего способов: $8 \times 7 \times 6 = 336$. Результаты совпадают.

Решение для гипотетической задачи 778 (а):
Предположим, условие задачи было: "В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали?"
Порядок распределения медалей важен. Мы выбираем 3 команды из 10 и назначаем им призовые места.
Здесь $n=10$ (число команд), $k=3$ (число медалей).
Используем формулу для числа размещений:
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
При решении правилом умножения: 10 претендентов на золото, 9 — на серебро, 8 — на бронзу. Всего способов: $10 \times 9 \times 8 = 720$. Результаты совпадают.

Решение для гипотетической задачи 779 (а):
Предположим, условие задачи было: "Сколькими способами можно выбрать из 12 человек старосту и его заместителя?"
Должности старосты и заместителя различны, поэтому порядок выбора важен.
Здесь $n=12$ (общее число человек), $k=2$ (число должностей).
Используем формулу для числа размещений:
$A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = \frac{12!}{10!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10!} = 12 \times 11 = 132$.
При решении правилом умножения: 12 кандидатов на должность старосты, после его выбора остается 11 кандидатов на должность заместителя. Всего способов: $12 \times 11 = 132$. Результаты совпадают.

Ответ: Да, при решении задач с помощью формулы для числа размещений получаются те же ответы, что и при решении с помощью комбинаторного правила умножения.

2) Используя формулы для числа размещений и числа перестановок, докажите формулу для нахождения числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Доказательство:

Рассмотрим связь между сочетаниями, размещениями и перестановками.
Число сочетаний $C_n^k$ — это количество способов выбрать неупорядоченный набор из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.
Число размещений $A_n^k$ — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ и расположить их в определенном порядке. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Число перестановок $P_k$ — это количество способов упорядочить (переставить) $k$ различных элементов. Формула для числа перестановок: $P_k = k!$.

Чтобы составить упорядоченный набор из $k$ элементов (размещение), можно действовать в два этапа:
Этап 1: Выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка. Число способов сделать это по определению равно $C_n^k$.
Этап 2: Упорядочить эти $k$ выбранных элементов. Число способов упорядочить $k$ элементов равно $P_k = k!$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выполнить оба этапа последовательно равно произведению числа способов на каждом этапе. Это общее число способов и есть число размещений $A_n^k$.
Следовательно, мы можем записать:
$A_n^k = C_n^k \times P_k$

Выразим из этого равенства $C_n^k$:
$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k}$

Теперь подставим известные формулы для $A_n^k$ и $P_k$:
$C_n^k = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}$

Преобразуя полученную дробь, получаем искомую формулу для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Формула доказана.

Ответ: Формула для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ доказана путем выражения числа размещений $A_n^k$ как произведения числа сочетаний $C_n^k$ на число перестановок $P_k$ ($A_n^k = C_n^k \times P_k$) и последующей подстановки известных формул $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и $P_k = k!$.

789 Вы, наверное, удивились, что число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается так же, как и элемент треугольника Паскаля, расположенный в $n$-й строке на месте с номером $k$. Это не случайно, ведь это те же самые числа, они же — биномиальные коэффициенты.

1) Найдите по комбинаторной формуле, связывающей число сочетаний, размещений и перестановок, следующие сочетания: $C_6^1$, $C_6^2$, $C_6^3$, $C_6^4$, $C_6^5$. Сравните их с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля.

2) Найдите $C_7^4$, $C_8^3$, $C_{10}^5$ по формуле и сравните с результатом, полученным с помощью треугольника Паскаля.

1)

Для нахождения числа сочетаний $C_n^k$ (число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка) используется следующая комбинаторная формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Найдем значения для заданных сочетаний при $n=6$:

$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 5!}{1 \cdot 5!} = 6$

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{120}{6} = 20$

$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6$

Теперь сравним полученные результаты с числами, стоящими в шестой строке треугольника Паскаля. Нумерация строк в треугольнике Паскаля начинается с нуля, поэтому "шестая строка" соответствует $n=6$.

Строки треугольника Паскаля:

n=0: 1

n=1: 1 1

n=2: 1 2 1

n=3: 1 3 3 1

n=4: 1 4 6 4 1

n=5: 1 5 10 10 5 1

n=6: 1 6 15 20 15 6 1

Элементы в строке $n$ соответствуют значениям $C_n^k$ для $k$ от 0 до $n$. Таким образом, для строки $n=6$ элементы соответствуют $C_6^0, C_6^1, C_6^2, C_6^3, C_6^4, C_6^5, C_6^6$.

Сравнивая наши вычисления ($C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6$) с выделенными числами в шестой строке треугольника Паскаля, мы видим, что они полностью совпадают.

Ответ: $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$. Значения совпадают с соответствующими элементами шестой строки треугольника Паскаля.

2)

Найдем значения указанных сочетаний по той же формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{30240}{120} = 252$

Теперь сравним эти результаты с числами из треугольника Паскаля.

Для $C_7^4$: Седьмая строка ($n=7$) треугольника Паскаля: 1 7 21 35 35 21 7 1. Элемент с номером $k=4$ (пятый по счету, так как нумерация с $k=0$) равен 35. Результат совпадает.

Для $C_8^3$: Восьмая строка ($n=8$) получается из седьмой: 1 8 28 56 70 56 28 8 1. Элемент с номером $k=3$ (четвертый по счету) равен 56. Результат совпадает.

Для $C_{10}^5$: Построение треугольника Паскаля до десятой строки подтвердит, что элемент с номером $k=5$ в строке $n=10$ равен 252. Результат совпадает.

Ответ: $C_7^4=35$, $C_8^3=56$, $C_{10}^5=252$. Значения, полученные по формуле, совпадают с числами из соответствующих строк треугольника Паскаля.

790 Девятиклассники отгадывали кроссворд (каждый самостоятельно). После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные представлены в таблице на с. 320.

а) Для каждого количества неразгаданных слов составьте таблицу частот.

б) Постройте полигон частот.

в) Найдите процент ребят, не разгадавших более двух слов.

г) Найдите среднее число неразгаданных слов в кроссворде.

а) Для каждого количества неразгаданных слов составьте таблицу частот.

Проанализируем данные, представленные в задаче. Всего в опросе участвовало 18 девятиклассников. Чтобы составить таблицу частот, необходимо подсчитать, сколько учеников имеют то или иное количество неразгаданных слов. Возможные значения количества неразгаданных слов: 1, 2, 3 и 4.

Подсчитаем частоту для каждого значения, просмотрев исходную таблицу:

• Частота для 1 неразгаданного слова: 3 ученика.
• Частота для 2 неразгаданных слов: 6 учеников.
• Частота для 3 неразгаданных слов: 6 учеников.
• Частота для 4 неразгаданных слов: 3 ученика.

Проверим общее количество учеников, сложив частоты: $3 + 6 + 6 + 3 = 18$. Расчет верен.

На основе этих данных составим таблицу частот:

Ответ: Таблица частот для данного распределения представлена выше.

б) Постройте полигон частот.

Полигон частот – это графическое представление данных в виде ломаной линии. Его строят в системе координат, где на горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения вариант (в данном случае — количество неразгаданных слов), а на вертикальной оси (оси ординат) — соответствующие им частоты.

Для построения полигона частот необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить систему координат.
2. На горизонтальной оси отметить значения количества неразгаданных слов: 1, 2, 3, 4.
3. На вертикальной оси отметить значения частот. Так как максимальная частота равна 6, ось можно разметить до 7.
4. В координатной плоскости отметить точки, координаты которых соответствуют данным из таблицы частот: $(1; 3)$, $(2; 6)$, $(3; 6)$, $(4; 3)$.
5. Последовательно соединить эти точки отрезками прямой.

Получившаяся ломаная линия и является искомым полигоном частот.

Ответ: Полигон частот — это ломаная, соединяющая точки с координатами $(1; 3)$, $(2; 6)$, $(3; 6)$ и $(4; 3)$.

в) Найдите процент ребят, не разгадавших более двух слов.

Фраза "не разгадавших более двух слов" означает, что количество неразгаданных слов у ученика строго больше, чем 2. То есть, нас интересуют ученики, у которых 3 или 4 неразгаданных слова.

Используя таблицу частот из пункта а), найдем количество таких учеников:

• Количество учеников, не разгадавших 3 слова: 6.
• Количество учеников, не разгадавших 4 слова: 3.

Общее количество учеников, не разгадавших более двух слов, составляет: $6 + 3 = 9$.

Всего в классе 18 учеников. Чтобы найти искомый процент, необходимо разделить количество учеников в интересующей нас группе на общее число учеников и умножить результат на 100%:

$\frac{9}{18} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$.

Ответ: 50%.

г) Найдите среднее число неразгаданных слов в кроссворде.

Среднее число неразгаданных слов — это среднее арифметическое для данного набора данных. Для его нахождения нужно общую сумму всех неразгаданных слов разделить на общее количество учеников.

Для расчета удобно использовать таблицу частот и формулу среднего взвешенного:

$\bar{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k}$

где $x_i$ – это количество неразгаданных слов, а $f_i$ – это соответствующая частота.

Сумма частот $\sum f$ (знаменатель дроби) равна общему числу учеников, то есть 18.

Вычислим числитель — сумму произведений количества неразгаданных слов на их частоты:

$(1 \cdot 3) + (2 \cdot 6) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 3) = 3 + 12 + 18 + 12 = 45$.

Теперь найдем среднее значение:

$\bar{x} = \frac{45}{18}$

Сократим дробь на 9, получим $\frac{5}{2}$, что равно 2,5.

Ответ: 2,5.