Страница 322 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность

794 Один любитель лотерей на карточке «Спортлото» (6 из 49) отметил номера 1, 2, 3, 4, 5, 6, а другой на своей карточке отметил номера 5, 12, 17, 23, 35, 49. Как вы думаете, выигрыш какого набора чисел более вероятен? Обоснуйте своё мнение.

Чтобы определить, выигрыш какого набора чисел более вероятен, необходимо рассчитать вероятность выигрыша для каждой комбинации. В лотерее «6 из 49» из 49 уникальных номеров случайным образом выбирают 6. Порядок выпадения номеров не имеет значения, поэтому мы имеем дело с сочетаниями.

Общее число всех возможных исходов (то есть всех уникальных комбинаций из 6 чисел) рассчитывается по формуле числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество номеров $n=49$, а количество номеров в выигрышной комбинации $k=6$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти общее число возможных комбинаций:

$C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13\,983\,816$

Таким образом, существует 13 983 816 различных комбинаций из 6 чисел, которые могут выпасть в лотерее.

Теперь рассмотрим обе карточки:

• Набор первого любителя: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Это одна конкретная комбинация из 13 983 816 возможных.
• Набор второго любителя: {5, 12, 17, 23, 35, 49}. Это также одна конкретная комбинация из 13 983 816 возможных.

Вероятность выигрыша для любой заранее выбранной комбинации равна отношению числа благоприятных исходов (в данном случае, 1) к общему числу возможных исходов. Поскольку лотерея предполагает случайный выбор, все 13 983 816 комбинаций являются равновероятными.

Вероятность выигрыша для первого набора чисел:

$P_1 = \frac{1}{C_{49}^6} = \frac{1}{13\,983\,816}$

Вероятность выигрыша для второго набора чисел:

$P_2 = \frac{1}{C_{49}^6} = \frac{1}{13\,983\,816}$

Следовательно, $P_1 = P_2$. Мнение о том, что "случайно" выглядящий набор чисел более вероятен, чем упорядоченный, является распространенным заблуждением. С точки зрения математики, каждая конкретная комбинация имеет одинаковые шансы на выигрыш.

Ответ: Выигрыш обоих наборов чисел равновероятен.

795 Ребята проводили опыты по подбрасыванию монеты. Из 100 бросков орёл выпал 46 раз, решка — 54 раза. Ребята поспорили: что вероятнее при следующем броске — появление орла или решки?

«Вероятнее появление орла, — сказал первый, — ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем решка, значит, теперь должен выпадать чаще».

«Вероятнее появление решки, — сказал второй, — раз она выпадала чаще, то и будет выпадать чаще».

«Мы знаем, что появление орла и решки в каждом эксперименте равновероятно, — сказал третий, — и вероятность появления орла или решки одинакова в 101-м опыте, так же как в первом или любом другом».

Согласны ли вы с кем-нибудь из участников спора и почему?

Я согласен с третьим участником спора.

Первый участник ошибается, так как его аргумент основан на заблуждении игрока (gambler's fallacy). Это убеждение, что прошлые события влияют на будущие результаты в независимых испытаниях. Монета не имеет "памяти", и каждый бросок является независимым событием. То, что орёл выпадал реже в предыдущих 100 бросках, не означает, что его вероятность выпадения увеличится в следующем броске для "выравнивания" результата. Вероятность выпадения орла или решки при каждом броске остается неизменной, если монета честная.

Ответ: Аргумент неверен.

Второй участник также ошибается. Его рассуждение предполагает, что наблюдаемая тенденция (решка выпадала чаще) сохранится или усилится в будущем. Однако, как и в случае с первым участником, это игнорирует принцип независимости событий. Если монета честная, то прошлые результаты (даже если решка выпадала чаще) не увеличивают её вероятность выпадения в следующем броске. Наблюдаемые 54 раза решки из 100 бросков — это всего лишь статистическая флуктуация, а не доказательство изменения вероятности для будущего независимого броска.

Ответ: Аргумент неверен.

Третий участник абсолютно прав. Бросок монеты является классическим примером независимых событий. Результат каждого броска не зависит от результатов предыдущих бросков. Для честной монеты вероятность выпадения орла (Р(О)) и решки (Р(Р)) в каждом отдельном броске всегда равна $0.5$ или $50\%$.

$P(\text{Орёл}) = \frac{1}{2} = 0.5$

$P(\text{Решка}) = \frac{1}{2} = 0.5$

Эти вероятности остаются такими для 1-го, 101-го или любого другого броска. Хотя на короткой дистанции наблюдаемые частоты могут отклоняться от теоретических вероятностей (как 46 орлов и 54 решки), на очень большой дистанции (в соответствии с законом больших чисел) частоты будут стремиться к теоретическим значениям. Однако это не означает, что отдельные броски "корректируют" прошлые отклонения.

Ответ: Аргумент верен.

796 Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?

Указание. Вычислите вероятность того, что папа задал подряд три вопроса, не выученных Вовой.

Для начала определим, сколько вопросов Вова выучил, а сколько — нет, исходя из его утверждения.

Всего вопросов: 60.

Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов. Найдем количество подготовленных вопросов:

$60 \cdot 0,80 = 48$ (выученных вопросов).

Следовательно, количество невыученных вопросов составляет:

$60 - 48 = 12$ (невыученных вопросов).

Теперь, следуя указанию, вычислим вероятность того, что папа задал подряд три вопроса, которые Вова не выучил. Будем считать, что папа выбирает вопросы случайным образом и не задает один и тот же вопрос дважды.

Найдем вероятность того, что первый заданный вопрос оказался невыученным. Так как невыученных вопросов 12 из 60, то вероятность этого события $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

После того как был задан один невыученный вопрос, осталось 59 вопросов, из которых 11 — невыученные. Вероятность того, что и второй вопрос окажется невыученным ($P_2$), равна:

$P_2 = \frac{11}{59}$

После этого остается 58 вопросов, из которых 10 — невыученные. Вероятность того, что и третий вопрос будет из числа невыученных ($P_3$), равна:

$P_3 = \frac{10}{58} = \frac{5}{29}$

Чтобы найти вероятность того, что все три события произойдут последовательно, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{12}{60} \cdot \frac{11}{59} \cdot \frac{10}{58} = \frac{1}{5} \cdot \frac{11}{59} \cdot \frac{5}{29}$

Сократим 5 в числителе и знаменателе:

$P = \frac{11}{59 \cdot 29} = \frac{11}{1711}$

Чтобы лучше понять значение этой вероятности, переведем ее в проценты:

$P \approx 0,00643 \cdot 100\% \approx 0,64\%$

Вероятность того, что Вове, если он действительно выучил 80% вопросов, попадутся подряд три невыученных вопроса, очень мала (менее 1%). Такое событие является маловероятным. Поэтому, столкнувшись с таким исходом, у папы есть веские основания усомниться в правдивости слов сына.

Ответ: Да, у папы есть основания подозревать сына во лжи, так как вероятность того, что ему случайно попались три невыученных вопроса подряд, составляет всего $\frac{11}{1711}$ (приблизительно 0,64%), что является очень маловероятным событием.

797 Перед тем как начать серию испытаний с кубиком, ребята высказали такие предположения:

Олег: «Шестёрка впервые появится в 1-м испытании».

Глеб: «Шестёрка впервые появится в 6-м испытании».

У кого из них больше шансов, что сделанный им прогноз оправдается?

Для того чтобы определить, у кого из ребят больше шансов, необходимо вычислить вероятность события для каждого из них.

Будем считать, что используется стандартный игральный кубик с 6 гранями. Вероятность выпадения любого числа на одной грани (в том числе и шестёрки) при одном броске равна $1/6$. Вероятность того, что шестёрка не выпадет, соответственно, равна $1 - 1/6 = 5/6$.

Олег: «Шестёрка впервые появится в 1-м испытании»

Прогноз Олега сбудется, если при первом же броске выпадет шестёрка. Вероятность этого события равна:

$P_{Олег} = \frac{1}{6}$

Глеб: «Шестёрка впервые появится в 6-м испытании»

Прогноз Глеба сбудется, если произойдет следующая последовательность событий: первые 5 бросков шестёрка не выпадает, а на шестой бросок она выпадает. Поскольку все броски являются независимыми событиями, мы можем перемножить их вероятности:

• Вероятность НЕ получить шестёрку в 1-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку во 2-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 3-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 4-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 5-м испытании: $5/6$
• Вероятность получить шестёрку в 6-м испытании: $1/6$

Вероятность прогноза Глеба равна произведению этих вероятностей:

$P_{Глеб} = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6}$

Сравнение вероятностей

Теперь сравним вероятности Олега и Глеба:

$P_{Олег} = \frac{1}{6}$

$P_{Глеб} = (\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6}$

Поскольку дробь $5/6$ меньше единицы, то при возведении её в положительную степень (в данном случае в 5-ю) результат также будет меньше единицы: $(\frac{5}{6})^5 < 1$.

Следовательно, при умножении на $1/6$ мы получаем:

$(\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6} < 1 \times \frac{1}{6}$

Это означает, что $P_{Глеб} < P_{Олег}$.

Таким образом, шансов на то, что прогноз оправдается, больше у Олега.

Ответ: Больше шансов у Олега.

798 Одновременно бросают 3 кубика. Какова вероятность того, что:

a) на всех кубиках выпадут одинаковые числа;

б) все числа на кубиках разные?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

При бросании трех игральных кубиков общее число возможных исходов $n$ равно произведению числа исходов для каждого кубика. Поскольку у каждого кубика 6 граней (с числами от 1 до 6), общее число комбинаций равно:

$n = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216$.

а) на всех кубиках выпадут одинаковые числа

Событие $A$ заключается в том, что на всех трех кубиках выпало одно и то же число. Найдем число благоприятных исходов $m_a$.

Благоприятными являются следующие комбинации: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).

Таким образом, число благоприятных исходов $m_a = 6$.

Теперь вычислим вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

б) все числа на кубиках разные

Событие $B$ заключается в том, что на всех трех кубиках выпали разные числа. Найдем число благоприятных исходов $m_б$.

На первом кубике может выпасть любое из 6 чисел (6 вариантов).
На втором кубике может выпасть любое число, кроме того, что выпало на первом (5 вариантов).
На третьем кубике может выпасть любое число, кроме тех, что выпали на первых двух (4 варианта).

Число благоприятных исходов найдем по правилу произведения:

$m_б = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Это число также можно найти с помощью формулы для размещений без повторений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае это число размещений из 6 элементов по 3:

$m_б = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Теперь вычислим вероятность события $B$:

$P(B) = \frac{m_б}{n} = \frac{120}{216}$.

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 24 ($120 = 5 \cdot 24$, $216 = 9 \cdot 24$):

$P(B) = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

799 Какова вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы года?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число исходов, а $M$ — число благоприятствующих исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N).

В компании 12 человек. Для каждого человека месяц его рождения может быть любым из 12 месяцев года. Будем считать, что рождение в любом из месяцев равновероятно. Таким образом, для первого человека существует 12 вариантов месяца рождения, для второго — также 12 вариантов, и так для каждого из 12 человек. Общее число всех возможных комбинаций месяцев рождения для 12 человек — это число размещений с повторениями из 12 по 12.

$N = 12 \times 12 \times \dots \times 12 \text{ (12 раз)} = 12^{12}$

2. Найдем число благоприятствующих исходов (M).

Благоприятствующий исход — это ситуация, когда дни рождения всех 12 человек приходятся на разные месяцы.

• У первого человека день рождения может быть в любом из 12 месяцев (12 вариантов).
• У второго человека месяц рождения должен отличаться от месяца рождения первого, поэтому для него остается 11 вариантов.
• У третьего — 10 вариантов (так как два месяца уже "заняты").
• ...
• Для двенадцатого человека останется только 1 свободный месяц.

Число таких исходов равно числу перестановок из 12 элементов (или числу размещений без повторений из 12 по 12):

$M = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 12!$

3. Вычислим вероятность (P).

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что все дни рождения придутся на разные месяцы:

$P = \frac{M}{N} = \frac{12!}{12^{12}}$

Вычислим значения числителя и знаменателя:

$12! = 479 \, 001 \, 600$

$12^{12} = 8 \, 916 \, 100 \, 448 \, 256$

Тогда вероятность равна:

$P = \frac{479 \, 001 \, 600}{8 \, 916 \, 100 \, 448 \, 256} \approx 0.000053724$

Это очень малая вероятность, примерно 0.0054%.

Ответ: Вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы, равна $ \frac{12!}{12^{12}} \approx 0.0000537 $.