Номер 798, страница 322 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 798, страница 322.

798 Одновременно бросают 3 кубика. Какова вероятность того, что:

a) на всех кубиках выпадут одинаковые числа;

б) все числа на кубиках разные?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

При бросании трех игральных кубиков общее число возможных исходов $n$ равно произведению числа исходов для каждого кубика. Поскольку у каждого кубика 6 граней (с числами от 1 до 6), общее число комбинаций равно:

$n = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216$.

а) на всех кубиках выпадут одинаковые числа

Событие $A$ заключается в том, что на всех трех кубиках выпало одно и то же число. Найдем число благоприятных исходов $m_a$.

Благоприятными являются следующие комбинации: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6).

Таким образом, число благоприятных исходов $m_a = 6$.

Теперь вычислим вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{m_a}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

б) все числа на кубиках разные

Событие $B$ заключается в том, что на всех трех кубиках выпали разные числа. Найдем число благоприятных исходов $m_б$.

На первом кубике может выпасть любое из 6 чисел (6 вариантов).
На втором кубике может выпасть любое число, кроме того, что выпало на первом (5 вариантов).
На третьем кубике может выпасть любое число, кроме тех, что выпали на первых двух (4 варианта).

Число благоприятных исходов найдем по правилу произведения:

$m_б = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Это число также можно найти с помощью формулы для размещений без повторений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае это число размещений из 6 элементов по 3:

$m_б = A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Теперь вычислим вероятность события $B$:

$P(B) = \frac{m_б}{n} = \frac{120}{216}$.

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 24 ($120 = 5 \cdot 24$, $216 = 9 \cdot 24$):

$P(B) = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.