Номер 797, страница 322 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 797, страница 322.

797 Перед тем как начать серию испытаний с кубиком, ребята высказали такие предположения:

Олег: «Шестёрка впервые появится в 1-м испытании».

Глеб: «Шестёрка впервые появится в 6-м испытании».

У кого из них больше шансов, что сделанный им прогноз оправдается?

Для того чтобы определить, у кого из ребят больше шансов, необходимо вычислить вероятность события для каждого из них.

Будем считать, что используется стандартный игральный кубик с 6 гранями. Вероятность выпадения любого числа на одной грани (в том числе и шестёрки) при одном броске равна $1/6$. Вероятность того, что шестёрка не выпадет, соответственно, равна $1 - 1/6 = 5/6$.

Олег: «Шестёрка впервые появится в 1-м испытании»

Прогноз Олега сбудется, если при первом же броске выпадет шестёрка. Вероятность этого события равна:

$P_{Олег} = \frac{1}{6}$

Глеб: «Шестёрка впервые появится в 6-м испытании»

Прогноз Глеба сбудется, если произойдет следующая последовательность событий: первые 5 бросков шестёрка не выпадает, а на шестой бросок она выпадает. Поскольку все броски являются независимыми событиями, мы можем перемножить их вероятности:

• Вероятность НЕ получить шестёрку в 1-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку во 2-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 3-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 4-м испытании: $5/6$
• Вероятность НЕ получить шестёрку в 5-м испытании: $5/6$
• Вероятность получить шестёрку в 6-м испытании: $1/6$

Вероятность прогноза Глеба равна произведению этих вероятностей:

$P_{Глеб} = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6}$

Сравнение вероятностей

Теперь сравним вероятности Олега и Глеба:

$P_{Олег} = \frac{1}{6}$

$P_{Глеб} = (\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6}$

Поскольку дробь $5/6$ меньше единицы, то при возведении её в положительную степень (в данном случае в 5-ю) результат также будет меньше единицы: $(\frac{5}{6})^5 < 1$.

Следовательно, при умножении на $1/6$ мы получаем:

$(\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6} < 1 \times \frac{1}{6}$

Это означает, что $P_{Глеб} < P_{Олег}$.

Таким образом, шансов на то, что прогноз оправдается, больше у Олега.

Ответ: Больше шансов у Олега.