Номер 793, страница 321 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Статистические исследования. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 793, страница 321.

793 В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

Рост, см	Число участников
160–165	5
165–170	12
170–175	19
175–180	25
180–185	10
185–190	7
190–195	2

а) Найдите среднее арифметическое роста участников соревнований.

б) В каком интервале находится медиана роста спортсменов?

а) Найдите среднее арифметическое роста участников соревнований.

Для нахождения среднего арифметического роста для сгруппированных данных, мы используем середины интервалов в качестве представительных значений для каждого интервала. Алгоритм решения:

1. Найти середину каждого интервала роста. Середина интервала вычисляется как среднее арифметическое его границ.
2. Найти общее число участников.
3. Вычислить взвешенную сумму, умножив каждую середину интервала на соответствующее число участников.
4. Разделить полученную сумму на общее число участников, чтобы найти среднее арифметическое.

1. Находим середины интервалов ($x_i$):

• Для 160–165 см: $x_1 = (160 + 165) / 2 = 162.5$
• Для 165–170 см: $x_2 = (165 + 170) / 2 = 167.5$
• Для 170–175 см: $x_3 = (170 + 175) / 2 = 172.5$
• Для 175–180 см: $x_4 = (175 + 180) / 2 = 177.5$
• Для 180–185 см: $x_5 = (180 + 185) / 2 = 182.5$
• Для 185–190 см: $x_6 = (185 + 190) / 2 = 187.5$
• Для 190–195 см: $x_7 = (190 + 195) / 2 = 192.5$

2. Находим общее число участников ($N$):

$N = 5 + 12 + 19 + 25 + 10 + 7 + 2 = 80$ участников.

3. Вычисляем среднее арифметическое ($\bar{x}$) по формуле для взвешенного среднего, где $f_i$ – частота (число участников) в i-м интервале:

$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}$

$\bar{x} = \frac{162.5 \cdot 5 + 167.5 \cdot 12 + 172.5 \cdot 19 + 177.5 \cdot 25 + 182.5 \cdot 10 + 187.5 \cdot 7 + 192.5 \cdot 2}{80}$

$\bar{x} = \frac{812.5 + 2010 + 3277.5 + 4437.5 + 1825 + 1312.5 + 385}{80}$

$\bar{x} = \frac{14060}{80} = 175.75$ см.

Ответ: Среднее арифметическое роста участников составляет 175,75 см.

б) В каком интервале находится медиана роста спортсменов?

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Для интервального ряда медианный интервал — это тот, в котором находится элемент, стоящий в середине ряда.

1. Находим общее число участников ($N$).
2. Определяем порядковый номер медианного участника.
3. Используя накопленные (кумулятивные) частоты, находим интервал, в который попадает этот участник.

1. Общее число участников $N = 80$.

2. Поскольку общее число участников четное, медиана будет находиться между значениями 40-го ($N/2$) и 41-го ($N/2 + 1$) участников в упорядоченном по росту ряду. Нам нужно найти интервал, в котором находятся эти участники.

3. Рассчитаем накопленные частоты (количество участников с ростом меньше верхней границы интервала):

• Интервал 160–165: 5 участников.
• Интервал 165–170: $5 + 12 = 17$ участников (с 1-го по 17-й).
• Интервал 170–175: $17 + 19 = 36$ участников (с 18-го по 36-й).
• Интервал 175–180: $36 + 25 = 61$ участник (с 37-го по 61-й).

Мы видим, что 36-й участник находится в интервале 170-175, а участники с 37-го по 61-й находятся в следующем интервале. Поскольку порядковые номера наших медианных участников — 40 и 41, они оба попадают в интервал 175–180 см. Следовательно, медиана роста находится в этом интервале.

Ответ: Медиана роста спортсменов находится в интервале 175–180 см.