Номер 796, страница 322 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 796, страница 322.

796 Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?

Указание. Вычислите вероятность того, что папа задал подряд три вопроса, не выученных Вовой.

Для начала определим, сколько вопросов Вова выучил, а сколько — нет, исходя из его утверждения.

Всего вопросов: 60.

Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов. Найдем количество подготовленных вопросов:

$60 \cdot 0,80 = 48$ (выученных вопросов).

Следовательно, количество невыученных вопросов составляет:

$60 - 48 = 12$ (невыученных вопросов).

Теперь, следуя указанию, вычислим вероятность того, что папа задал подряд три вопроса, которые Вова не выучил. Будем считать, что папа выбирает вопросы случайным образом и не задает один и тот же вопрос дважды.

Найдем вероятность того, что первый заданный вопрос оказался невыученным. Так как невыученных вопросов 12 из 60, то вероятность этого события $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

После того как был задан один невыученный вопрос, осталось 59 вопросов, из которых 11 — невыученные. Вероятность того, что и второй вопрос окажется невыученным ($P_2$), равна:

$P_2 = \frac{11}{59}$

После этого остается 58 вопросов, из которых 10 — невыученные. Вероятность того, что и третий вопрос будет из числа невыученных ($P_3$), равна:

$P_3 = \frac{10}{58} = \frac{5}{29}$

Чтобы найти вероятность того, что все три события произойдут последовательно, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{12}{60} \cdot \frac{11}{59} \cdot \frac{10}{58} = \frac{1}{5} \cdot \frac{11}{59} \cdot \frac{5}{29}$

Сократим 5 в числителе и знаменателе:

$P = \frac{11}{59 \cdot 29} = \frac{11}{1711}$

Чтобы лучше понять значение этой вероятности, переведем ее в проценты:

$P \approx 0,00643 \cdot 100\% \approx 0,64\%$

Вероятность того, что Вове, если он действительно выучил 80% вопросов, попадутся подряд три невыученных вопроса, очень мала (менее 1%). Такое событие является маловероятным. Поэтому, столкнувшись с таким исходом, у папы есть веские основания усомниться в правдивости слов сына.

Ответ: Да, у папы есть основания подозревать сына во лжи, так как вероятность того, что ему случайно попались три невыученных вопроса подряд, составляет всего $\frac{11}{1711}$ (приблизительно 0,64%), что является очень маловероятным событием.