Номер 800, страница 323 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 800, страница 323.

800 На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 5 мальчиков и 2 девочки. Какова вероятность того, что девочки будут сидеть рядом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих искомому событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. Это общее количество способов рассадить 7 человек (5 мальчиков и 2 девочки) на 7 мест. Оно равно числу перестановок из 7 элементов: $n = P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$. Таким образом, существует 5040 различных способов рассадки.

Далее найдем число благоприятных исходов $m$, то есть таких способов рассадки, при которых обе девочки сидят рядом. Для этого мы можем рассматривать двух девочек как единую группу. В таком случае нам нужно рассадить 6 «объектов»: 5 мальчиков и 1 группу девочек.

Число способов рассадить эти 6 «объектов» на 6 местах равно числу перестановок из 6 элементов: $P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.

Однако внутри самой группы девочки могут поменяться местами (девочка 1, девочка 2 или девочка 2, девочка 1). Число таких перестановок внутри группы равно $2!$: $P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Чтобы получить общее число благоприятных исходов $m$, необходимо перемножить число способов рассадки 6 «объектов» и число перестановок внутри группы девочек (согласно правилу произведения в комбинаторике): $m = 6! \cdot 2! = 720 \cdot 2 = 1440$.

Наконец, вычислим искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{1440}{5040}$.

Упростим полученное выражение, сократив дробь: $P = \frac{1440}{5040} = \frac{144}{504} = \frac{2 \cdot 72}{7 \cdot 72} = \frac{2}{7}$. Также вычисление можно провести, используя факториалы: $P = \frac{6! \cdot 2!}{7!} = \frac{6! \cdot 2}{7 \cdot 6!} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$