Номер 799, страница 322 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решение задач на вероятность. Глава 5. Статистика и вероятность - номер 799, страница 322.

799 Какова вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы года?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число исходов, а $M$ — число благоприятствующих исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N).

В компании 12 человек. Для каждого человека месяц его рождения может быть любым из 12 месяцев года. Будем считать, что рождение в любом из месяцев равновероятно. Таким образом, для первого человека существует 12 вариантов месяца рождения, для второго — также 12 вариантов, и так для каждого из 12 человек. Общее число всех возможных комбинаций месяцев рождения для 12 человек — это число размещений с повторениями из 12 по 12.

$N = 12 \times 12 \times \dots \times 12 \text{ (12 раз)} = 12^{12}$

2. Найдем число благоприятствующих исходов (M).

Благоприятствующий исход — это ситуация, когда дни рождения всех 12 человек приходятся на разные месяцы.

• У первого человека день рождения может быть в любом из 12 месяцев (12 вариантов).
• У второго человека месяц рождения должен отличаться от месяца рождения первого, поэтому для него остается 11 вариантов.
• У третьего — 10 вариантов (так как два месяца уже "заняты").
• ...
• Для двенадцатого человека останется только 1 свободный месяц.

Число таких исходов равно числу перестановок из 12 элементов (или числу размещений без повторений из 12 по 12):

$M = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 12!$

3. Вычислим вероятность (P).

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что все дни рождения придутся на разные месяцы:

$P = \frac{M}{N} = \frac{12!}{12^{12}}$

Вычислим значения числителя и знаменателя:

$12! = 479 \, 001 \, 600$

$12^{12} = 8 \, 916 \, 100 \, 448 \, 256$

Тогда вероятность равна:

$P = \frac{479 \, 001 \, 600}{8 \, 916 \, 100 \, 448 \, 256} \approx 0.000053724$

Это очень малая вероятность, примерно 0.0054%.

Ответ: Вероятность того, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы, равна $ \frac{12!}{12^{12}} \approx 0.0000537 $.