Страница 323 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

800 На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 5 мальчиков и 2 девочки. Какова вероятность того, что девочки будут сидеть рядом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих искомому событию.

Сначала найдем общее число исходов $n$. Это общее количество способов рассадить 7 человек (5 мальчиков и 2 девочки) на 7 мест. Оно равно числу перестановок из 7 элементов: $n = P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$. Таким образом, существует 5040 различных способов рассадки.

Далее найдем число благоприятных исходов $m$, то есть таких способов рассадки, при которых обе девочки сидят рядом. Для этого мы можем рассматривать двух девочек как единую группу. В таком случае нам нужно рассадить 6 «объектов»: 5 мальчиков и 1 группу девочек.

Число способов рассадить эти 6 «объектов» на 6 местах равно числу перестановок из 6 элементов: $P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.

Однако внутри самой группы девочки могут поменяться местами (девочка 1, девочка 2 или девочка 2, девочка 1). Число таких перестановок внутри группы равно $2!$: $P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2$.

Чтобы получить общее число благоприятных исходов $m$, необходимо перемножить число способов рассадки 6 «объектов» и число перестановок внутри группы девочек (согласно правилу произведения в комбинаторике): $m = 6! \cdot 2! = 720 \cdot 2 = 1440$.

Наконец, вычислим искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{1440}{5040}$.

Упростим полученное выражение, сократив дробь: $P = \frac{1440}{5040} = \frac{144}{504} = \frac{2 \cdot 72}{7 \cdot 72} = \frac{2}{7}$. Также вычисление можно провести, используя факториалы: $P = \frac{6! \cdot 2!}{7!} = \frac{6! \cdot 2}{7 \cdot 6!} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$

801 Ваш друг задумал число от 1 до 10. Вы должны угадать его с трёх попыток.

a) Каковы ваши шансы на успех?

б) Сколько вам нужно попыток, чтобы шансы были больше $\frac{1}{2}$?

а) Каковы ваши шансы на успех?

Всего возможны 10 исходов, так как друг задумал одно из целых чисел от 1 до 10. У вас есть три попытки. Предполагая, что вы не будете называть одно и то же число дважды, вы можете назвать 3 разных числа. Эти 3 числа являются благоприятными исходами.
Вероятность (шанс) на успех вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
$P(\text{успех}) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{3}{10}$
Таким образом, ваши шансы на успех составляют 3 из 10.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

б) Сколько вам нужно попыток, чтобы шансы были больше $\frac{1}{2}$?

Пусть $k$ — это количество попыток. Шанс на успех при $k$ попытках равен $\frac{k}{10}$. Нам нужно найти наименьшее целое число $k$, при котором этот шанс будет строго больше $\frac{1}{2}$.
Составим и решим неравенство:
$\frac{k}{10} > \frac{1}{2}$
Умножим обе части неравенства на 10:
$k > \frac{10}{2}$
$k > 5$
Наименьшее целое число, которое больше 5, — это 6. Проверим:
- При 5 попытках шанс равен $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, что не больше $\frac{1}{2}$.
- При 6 попытках шанс равен $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Так как $\frac{3}{5} = 0.6$, а $\frac{1}{2} = 0.5$, то $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$.
Следовательно, необходимо минимум 6 попыток.
Ответ: 6 попыток.

1 Приведите примеры использования статистики в разных областях жизни.

Медицина и здравоохранение

В медицине статистика играет ключевую роль в оценке эффективности новых методов лечения и лекарств. Во время клинических испытаний создаются две группы пациентов: экспериментальная, получающая новый препарат, и контрольная, получающая плацебо. Статистические методы используются для сравнения результатов в обеих группах (например, процента выздоровевших). Это позволяет определить, является ли наблюдаемая разница статистически значимой, то есть не случайной. Формула для оценки доли (пропорции) выздоровевших в группе: $p = \frac{k}{n}$, где $k$ – число выздоровевших, а $n$ – общее число пациентов в группе. Также статистика незаменима в эпидемиологии для отслеживания распространения заболеваний (например, COVID-19 или гриппа), прогнозирования эпидемий и планирования мер общественного здравоохранения, таких как вакцинация.

Ответ: Статистика в медицине используется для проведения клинических испытаний лекарств, анализа распространения заболеваний (эпидемиология) и принятия решений в области общественного здравоохранения.

Экономика и бизнес

Статистика является основой для принятия решений в бизнесе. Маркетологи используют ее для анализа рыночных исследований и опросов потребителей, чтобы понять спрос и определить ценовую политику. Финансовые аналитики применяют статистические модели, например, регрессионный анализ, для прогнозирования цен на акции, курсов валют и других экономических показателей. Модель линейной регрессии может выглядеть так: $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$, где $Y$ – это зависимая переменная (например, объем продаж), а $X$ – независимая (например, расходы на рекламу). На производстве статистика используется для контроля качества продукции. Методом случайной выборки проверяется определенное количество изделий из партии, и если доля брака превышает допустимый уровень, вся партия может быть отозвана.

Ответ: В бизнесе и экономике статистика применяется для маркетинговых исследований, финансового анализа и прогнозирования, а также для контроля качества на производстве.

Государственное управление и социология

Государственные органы регулярно используют статистику для сбора и анализа данных о населении. Перепись населения – это масштабный статистический проект, который предоставляет информацию о демографическом составе страны, уровне доходов, занятости и жилищных условиях. Эти данные необходимы для планирования бюджета, строительства школ, больниц и дорог. Социологические службы проводят опросы общественного мнения, например, перед выборами. На основе опроса небольшой репрезентативной выборки населения делаются выводы о предпочтениях всех избирателей. При этом всегда указывается статистическая погрешность, которая показывает возможный диапазон отклонения реального результата от предсказанного.

Ответ: В госуправлении и социологии статистика нужна для проведения переписи населения, опросов общественного мнения, распределения бюджета и анализа социальных явлений, таких как уровень безработицы или преступности.

Спорт

Современный спорт невозможно представить без статистики, или спортивной аналитики. Для оценки эффективности игроков используются десятки показателей. Например, в хоккее это показатель "плюс-минус", а в баскетболе – рейтинг эффективности игрока (PER), который комплексно учитывает все полезные действия. Простейшим примером является расчет среднего количества очков за игру, который вычисляется по формуле среднего арифметического: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$, где $x_i$ – очки в $i$-й игре, а $n$ – количество игр. Тренеры и аналитики используют статистику для разработки стратегии на игру, анализируя сильные и слабые стороны соперника.

Ответ: В спорте статистика используется для оценки индивидуальных и командных показателей, разработки игровой стратегии и анализа эффективности спортсменов.

Научные исследования

В любой научной области статистика является инструментом для подтверждения или опровержения гипотез. В физике при поиске новых элементарных частиц на Большом адронном коллайдере ученые анализируют огромные объемы данных, чтобы отделить сигнал от случайного шума. Результат считается достоверным, только если его статистическая значимость очень высока. В экологии статистические методы применяются для анализа многолетних данных о климате, чтобы выявить тенденции, например, глобальное потепление. В психологии исследователи используют статистику для анализа результатов экспериментов, чтобы сделать выводы о человеческом поведении.

Ответ: В науке статистика необходима для проверки гипотез, анализа данных экспериментов, выявления закономерностей и отделения реальных эффектов от случайных колебаний.

Повседневная жизнь

Статистика окружает нас и в быту. Прогнозы погоды, которые сообщают о вероятности дождя в процентах, основаны на статистическом анализе исторических данных и текущих атмосферных условий. Страховые компании используют статистику для расчета рисков и определения стоимости страховых полисов: анализируются данные о возрасте, поле, стаже вождения и других факторах для оценки вероятности наступления страхового случая. Даже рекомендации товаров в интернет-магазинах или фильмов на стриминговых сервисах основаны на статистических алгоритмах, которые анализируют ваши прошлые предпочтения и поведение других пользователей со схожими вкусами.

Ответ: В повседневной жизни статистика проявляется в прогнозах погоды, расчете страховых взносов и работе систем персональных рекомендаций.

2 Какие вы знаете статистические характеристики? Какие из них описывают разброс данных?

Какие вы знаете статистические характеристики?

Статистические характеристики — это числовые показатели, которые используются для обобщенного описания и анализа наборов (выборок) данных. Они позволяют понять структуру данных, не изучая каждый элемент в отдельности. Основные статистические характеристики принято делить на две большие группы: меры центральной тенденции и меры разброса (вариации).

Меры центральной тенденции показывают "типичное" или "центральное" значение в наборе данных. К ним относятся:

• Среднее арифметическое — это сумма всех значений в наборе данных, деленная на их количество. Для выборки $x_1, x_2, ..., x_n$ объемом $n$ среднее арифметическое $\bar{x}$ вычисляется по формуле:

  $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

• Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного (по возрастанию или убыванию) набора данных. Если в наборе нечетное число элементов, медиана — это центральный элемент. Если число элементов четное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов.

• Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто. В выборке может быть одна мода, несколько мод или моды может не быть вовсе.

Меры разброса (вариации) показывают, насколько значения в наборе данных отличаются друг от друга и от центрального значения. К ним относятся:

• Размах — это разность между максимальным ($x_{max}$) и минимальным ($x_{min}$) значениями в наборе данных.

  $R = x_{max} - x_{min}$

• Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от их среднего арифметического. Она показывает, насколько сильно значения "разбросаны" вокруг среднего. Формула для выборочной дисперсии $s^2$:

  $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

• Среднеквадратическое (стандартное) отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Эта характеристика измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, что делает её более удобной для интерпретации.

  $s = \sqrt{s^2}$

• Межквартильный размах — это разность между третьим ($Q_3$) и первым ($Q_1$) квартилями. Квартили делят упорядоченный набор данных на четыре равные части. Межквартильный размах показывает разброс центральных 50% данных.

  $IQR = Q_3 - Q_1$

Ответ: Основные статистические характеристики включают меры центральной тенденции (среднее арифметическое, медиана, мода) и меры разброса (размах, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, межквартильный размах).

Какие из них описывают разброс данных?

Разброс данных (также называемый вариацией, изменчивостью или рассеянием) — это степень, в которой значения в наборе данных отклоняются от среднего значения и друг от друга. Для описания разброса используются следующие характеристики:

• Размах — самая простая мера, которая показывает полный диапазон значений в выборке, но она сильно зависит от экстремальных значений (выбросов).

• Дисперсия — количественно оценивает, как далеко в среднем точки данных находятся от их среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

• Среднеквадратическое (стандартное) отклонение — наиболее распространенная и интуитивно понятная мера разброса. Она показывает "типичное" отклонение значения от среднего. Большое стандартное отклонение указывает на большой разброс данных.

• Межквартильный размах — описывает разброс центральной половины данных, что делает его устойчивой (робастной) мерой к наличию выбросов.

Ответ: Разброс данных описывают размах, дисперсия, среднеквадратическое (стандартное) отклонение и межквартильный размах.

3 Какие графические иллюстрации используются в статистических исследованиях рядов данных? Как называется графическая интерпретация интервального ряда?

Какие графические иллюстрации используются в статистических исследованиях рядов данных?

В статистических исследованиях для наглядного представления и анализа рядов данных применяются различные виды графических иллюстраций. Выбор конкретного вида графика зависит от типа данных (количественные, качественные) и цели исследования. К наиболее распространенным относятся:

• Полигон частот: Ломаная линия, которая соединяет точки, соответствующие частотам отдельных значений (для дискретных рядов) или серединам интервалов (для интервальных рядов). Наглядно показывает форму распределения.
• Гистограмма: Ступенчатая фигура из примыкающих друг к другу прямоугольников. Используется для интервальных рядов, где основания прямоугольников — это интервалы, а их высота пропорциональна частоте или плотности распределения.
• Столбчатая диаграмма: Используется для сравнения дискретных категорий. Состоит из отдельных столбцов (обычно разделенных промежутками), высота которых пропорциональна значению показателя.
• Круговая (секторная) диаграмма: Показывает структуру совокупности, где площадь каждого сектора пропорциональна доле (частости) категории в общем объеме.
• Кумулятивная кривая (огива): График накопленных частот. Показывает, какая часть совокупности имеет значение признака меньше заданного. Строится по верхним границам интервалов.
• Диаграмма рассеяния: Применяется для визуализации связи между двумя количественными переменными. Каждая точка на графике соответствует паре значений двух признаков для одного объекта.
• Линейный график: Часто используется для отображения изменения показателя во времени (динамические ряды).

Ответ: В статистических исследованиях рядов данных используются полигоны частот, гистограммы, столбчатые и круговые диаграммы, кумулятивные кривые (огивы), диаграммы рассеяния и линейные графики.

Как называется графическая интерпретация интервального ряда?

Графической интерпретацией (или представлением) интервального ряда распределения в первую очередь является гистограмма.

Гистограмма представляет собой диаграмму, состоящую из смежных прямоугольников. На горизонтальной оси откладываются границы интервалов, и на этих отрезках как на основаниях строятся прямоугольники. Высота каждого прямоугольника пропорциональна частоте (количеству значений) или относительной частоте (доле), с которой значения попадают в данный интервал. Так как интервалы непрерывно следуют друг за другом, прямоугольники на гистограмме изображаются вплотную.

Кроме гистограммы, для изображения интервального ряда также применяют полигон частот (соединяя середины верхних оснований прямоугольников гистограммы) и кумулятивную кривую (огиву).

Ответ: Гистограмма.

1 Используя диаграмму на рисунке 5.5, выполните задания:

а) постройте таблицу для количества квартир, если всего в городе 1 млн квартир;

б) постройте соответствующий полигон количества квартир;

в) определите по таблице среднее количество комнат в квартире.

Поскольку в вопросе отсутствует диаграмма (рисунок 5.5), для решения задачи будут использованы гипотетические, но типичные для подобных задач, данные о процентном распределении квартир по количеству комнат:

• 1-комнатные: 30%
• 2-комнатные: 40%
• 3-комнатные: 20%
• 4-комнатные: 7%
• 5 и более комнат: 3%

Общее количество квартир в городе составляет 1 миллион (1 000 000).

а) постройте таблицу для количества квартир, если всего в городе 1 млн квартир;

Для построения таблицы необходимо рассчитать абсолютное количество квартир каждого типа, исходя из их процентной доли от общего количества в 1 000 000 квартир.

• Количество 1-комнатных квартир: $1 000 000 \times 0.30 = 300 000$
• Количество 2-комнатных квартир: $1 000 000 \times 0.40 = 400 000$
• Количество 3-комнатных квартир: $1 000 000 \times 0.20 = 200 000$
• Количество 4-комнатных квартир: $1 000 000 \times 0.07 = 70 000$
• Количество квартир с 5 и более комнатами: $1 000 000 \times 0.03 = 30 000$

Сведем полученные данные в таблицу:

Ответ: Таблица с количеством квартир построена выше.

б) постройте соответствующий полигон количества квартир;

Полигон количеств (или полигон частот) — это ломаная линия, соединяющая точки, абсциссами которых являются значения признака (количество комнат), а ординатами — соответствующие им количества (число квартир).

На оси абсцисс (горизонтальной) отложим количество комнат (1, 2, 3, 4, 5+), а на оси ординат (вертикальной) — количество квартир.

Точки для построения полигона:

• (1; 300 000)
• (2; 400 000)
• (3; 200 000)
• (4; 70 000)
• (5; 30 000) (для категории "5 и более" используем значение 5)

Ниже представлен график полигона:

Ответ: Полигон количеств построен и представлен на графике выше.

в) определите по таблице среднее количество комнат в квартире.

Среднее количество комнат в квартире определяется как среднее взвешенное. Для этого нужно сумму произведений количества комнат на соответствующее количество квартир разделить на общее количество квартир.

Формула для среднего взвешенного:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i}{N}$

где $x_i$ — количество комнат, $n_i$ — количество квартир с $x_i$ комнатами, $N$ — общее количество квартир.

Для категории "5 и более комнат" будем использовать значение $x=5$.

Выполним расчет:

Числитель (сумма произведений):

$\sum x_i \cdot n_i = (1 \cdot 300000) + (2 \cdot 400000) + (3 \cdot 200000) + (4 \cdot 70000) + (5 \cdot 30000)$

$\sum x_i \cdot n_i = 300000 + 800000 + 600000 + 280000 + 150000 = 2130000$

Знаменатель (общее количество квартир):

$N = 1000000$

Среднее количество комнат:

$\bar{x} = \frac{2130000}{1000000} = 2.13$

Ответ: Среднее количество комнат в квартире составляет 2,13.

2 Вернитесь к задаче 748 и постройте гистограмму частот для 2010 г.

Поскольку данные из задачи 748 не предоставлены, для построения гистограммы воспользуемся гипотетическим, но реалистичным набором данных. Предположим, что в задаче 748 приведена таблица среднемесячной температуры воздуха в некотором городе за 2010 год (в градусах Цельсия).

Предполагаемые данные за 2010 г. (среднемесячная температура, °C):

-10, -8, -1, 7, 15, 19, 22, 20, 14, 6, -2, -9

Для построения гистограммы частот необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить диапазон данных.
   Минимальное значение: $min = -10$ °C.
   Максимальное значение: $max = 22$ °C.
   Размах выборки: $R = max - min = 22 - (-10) = 32$.
2. Определить количество интервалов.
   Объем выборки $n=12$ (12 месяцев). Количество интервалов ($k$) можно выбрать по формуле Стерджеса $k \approx 1 + 3.322 \cdot \lg(n)$ или взять $k \approx \sqrt{n}$.
   $k \approx \sqrt{12} \approx 3.46$. Округлим до 4. Возьмем $k=4$ интервала.
3. Определить ширину интервала.
   Ширина интервала: $h = R / k = 32 / 4 = 8$.
4. Составить таблицу частот.
   Создадим интервалы, начиная с минимального значения -10.
   • Интервал 1: [-10, -2)
   • Интервал 2: [-2, 6)
   • Интервал 3: [6, 14)
   • Интервал 4: [14, 22]
   Теперь подсчитаем, сколько значений попадает в каждый интервал (частоту).
   Исходный ряд: -10, -8, -1, 7, 15, 19, 22, 20, 14, 6, -2, -9.
   • В интервал [-10, -2) попадают значения: -10, -8, -9. Частота: 3.
   • В интервал [-2, 6) попадают значения: -1, -2. Частота: 2.
   • В интервал [6, 14) попадают значения: 7, 6, 14 (включая 14 в следующий интервал по правилу). Пусть правая граница не включается, кроме последнего интервала. Тогда 7, 6. Частота: 2.
   • В интервал [14, 22] попадают значения: 15, 19, 22, 20, 14. Частота: 5.
   Проверка: $3 + 2 + 2 + 5 = 12$. Сумма частот равна объему выборки.
   
   Таблица частот:

   Интервал температур, °C	Частота (кол-во месяцев)
   [-10, -2)	3
   [-2, 6)	2
   [6, 14)	2
   [14, 22]	5

5. Построить гистограмму.
   Гистограмма — это столбчатая диаграмма, где по горизонтальной оси откладываются интервалы, а высота столбцов соответствует частоте попадания значений в этот интервал. Столбцы гистограммы примыкают друг к другу.

Ответ:

На основе приведенной выше таблицы частот строится гистограмма. По оси X откладываются интервалы температур, по оси Y — частота (количество месяцев).

3 В результате обследования представительной выборки пятиклассников региона оказалось, что 60% учащихся выполнили проверочную работу на «4» или «5». Сколько таких отметок можно ожидать при выполнении этой работы в регионе, если всего в пятых классах региона обучается 1200 школьников?

В задаче говорится, что по результатам обследования представительной выборки 60% учащихся получили отметки «4» или «5». Это означает, что мы можем ожидать такой же процент успеваемости и для всей совокупности пятиклассников региона.

Всего в пятых классах региона обучается 1200 школьников. Чтобы найти ожидаемое количество учащихся, получивших «4» или «5», необходимо вычислить 60% от общего числа школьников.

Для этого можно составить пропорцию или перевести проценты в десятичную дробь и умножить на общее количество.

Способ 1: Через десятичную дробь

1. Переведем 60% в десятичную дробь: $60\% = \frac{60}{100} = 0.6$

2. Найдем количество учащихся, умножив общее число на эту дробь: $1200 \cdot 0.6 = 720$

Способ 2: Через пропорцию

Пусть $x$ – искомое количество учащихся. Тогда:

1200 учащихся — это 100%
$x$ учащихся — это 60%

Составим пропорцию: $\frac{x}{1200} = \frac{60}{100}$

Выразим $x$: $x = \frac{1200 \cdot 60}{100} = 12 \cdot 60 = 720$

Оба способа дают одинаковый результат. Следовательно, можно ожидать, что 720 учащихся получат отметки «4» или «5».

Ответ: 720.

4 Из партии телевизоров в 800 штук отдел контроля подверг проверке 100 штук. Оказалось, что 3 телевизора имеют дефекты. Сколько телевизоров с дефектами можно ожидать в этой партии?

Для решения этой задачи мы предполагаем, что доля бракованных телевизоров в проверенной выборке такая же, как и во всей партии. Это позволяет нам использовать пропорцию для нахождения ожидаемого количества дефектных телевизоров.

Сначала определим частоту (долю) дефектов в проверенной выборке.

Было проверено 100 телевизоров, из них 3 оказались с дефектами. Значит, на каждые 100 телевизоров приходится 3 дефектных. Доля дефектных телевизоров в выборке составляет:

$\frac{3}{100}$

Теперь, чтобы найти ожидаемое количество дефектных телевизоров во всей партии из 800 штук, мы можем составить пропорцию. Пусть $x$ — это искомое количество телевизоров с дефектами во всей партии.

Пропорция будет выглядеть так:

$\frac{3 \text{ дефекта}}{100 \text{ телевизоров}} = \frac{x \text{ дефектов}}{800 \text{ телевизоров}}$

Чтобы найти $x$, решим это уравнение. Можно умножить обе части на 800:

$x = \frac{3 \times 800}{100}$

Выполним вычисления:

$x = \frac{2400}{100} = 24$

Следовательно, в партии из 800 телевизоров можно ожидать 24 телевизора с дефектами.

Ответ: 24.